61、语言等价性的共归纳证明技术

语言等价性的共归纳证明技术

在语言理论和自动机理论中，证明语言之间的等价性是一个重要的问题。传统的证明方法可能会比较复杂，而共归纳证明技术为我们提供了一种新的思路，特别是通过引入“模拟直至（bisimulation-up-to）”的概念，使得证明过程更加简洁和高效。

1. 模拟直至的引入

在证明语言恒等式时，传统的双模拟（bisimulation）方法可能会遇到一些困难。例如，考虑Kleene代数公理相关的证明。对于关系 $R = {(xx^ + 1, x^ ) | x \in P(A^ )}$ 和 $R = {(x^ x + 1, x^ ) | x \in P(A^ )}$，虽然可以证明它们的导数相等，但导数并不一定通过关系 $R$ 相关联，所以 $R$ 不是双模拟。为了解决这个问题，我们引入了“模拟直至”的概念。

2. 同余闭包

为了定义“模拟直至”，我们需要同余闭包的概念。对于关系 $R \subseteq P(A^ ) \times P(A^ )$，其同余闭包 $\equiv_R$ 是满足以下规则的最小关系：
- $xRy \Rightarrow x \equiv y$
- $x \equiv x$
- $x \equiv y \Rightarrow y \equiv x$
- $x \equiv y, y \equiv z \Rightarrow x \equiv z$
- $x_1 \equiv y_1, x_2 \equiv y_2 \Rightarrow x_1 + x_2 \equiv y_1 + y_