45、霍夫变换在形状检测中的应用与优化

霍夫变换在形状检测中的应用与优化

1. 引言

霍夫变换（HT）是计算机视觉中用于检测特定形状的重要技术，它通过将图像空间中的点映射到参数空间，利用累加器来收集证据，从而找出符合特定形状的参数。本文将详细介绍霍夫变换在检测直线、圆和椭圆等形状中的应用，以及如何通过参数空间分解来降低其计算复杂度。

2. 霍夫变换检测直线

在检测直线时，使用单个累加器收集图像中直线的数据。极坐标实现的霍夫变换使用单个累加器，使得该方法比早期的笛卡尔版本更实用。通过累加器中的峰值可以确定图像中的直线。

3. 霍夫变换检测圆

3.1 圆的方程表示

圆的方程可以用显式或参数形式表示。显式形式为 ((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2)，它定义了以 ((x_0, y_0)) 为圆心，(r) 为半径的点的轨迹。该方程可以从两个角度可视化：一是图像中的点 ((x, y)) 的轨迹，二是以 ((x, y)) 为圆心，(r) 为半径的点 ((x_0, y_0)) 的轨迹。

参数形式为 (x = x_0 + r \cos(\theta))，(y = y_0 + r \sin(\theta))，这种表示的优点是可以求解参数。霍夫变换的映射为 (x_0 = x - r \cos(\theta))，(y_0 = y - r \sin(\theta))。

3.2 累加器空间

每个边缘点在累加器空间中定义了一组圆，这些圆由所有可能的半径值定义，并且以边缘点的坐标为中心。累加器空间是三维的（对应圆心参数和半径），边缘点映射到累加器空间中的一个圆锥体的投票区域。