21、图多项式方法在原语性研究中的应用

图多项式方法在原语性研究中的应用

1. 原语词中孔数量的最大化

• 大因子集的定义 ：对于整数 $n$，其大因子集 $LF(n)$ 定义为满足 $m < n$、$m | n$ 且对于 $t \neq m$ 且 $t | n$ 有 $m \nmid t$ 的整数 $m$ 的集合。例如，当 $n = 30$ 时，$LF(30) = {6, 10, 15}$。
• 命题 1 ：给定长度为 $n$ 且包含最大孔数的原语部分词，设 $LF(n) = {f_1, \ldots, f_m}$。对于任意非孔位置 $i$ 和 $j$，有 $i - j = c_1f_1 + \cdots + c_mf_m$，其中 $c_i \in Z$。此外，排除 $n$ 的所有大因子作为周期所需的最少非孔数为 $|LF(n)| + 1$。
  • 证明 ：为排除大因子 $f_1$，需使用两个非孔 $i_1$ 和 $i_2$，且它们的差必须是 $f_1$ 的倍数。由于 $lcm(f_i, f_j) = n$，$i_1$ 和 $i_2$ 最多排除一个大因子。排除第一个大因子后，还需 $|LF(n)| - 1$ 个非孔来排除其余大因子，总共需要 $|LF(n)| + 1$ 个非孔位置。
• 定理 2 ：长度为 $n$ 的原语部分词在至少包含两个字母的任意字母表上能包含的最大孔数 $\tau(n)$ 为 $\tau(n) = n - |LF(n)| - 1$，且使用二进制字母表可实现该最大孔数。 <