22、图多项式方法与部分单词后缀树：原语性与最长公共兼容前缀问题解析

图多项式方法与部分单词后缀树：原语性与最长公共兼容前缀问题解析

1. 图多项式与原语性相关

1.1 [p, q]-特殊单词的构造与数量

对于长度为 pq 的 [p, q]-特殊单词，当 h = q 时，存在一个这样的单词是显然的，h = 0 时则对应特定定理。从长度为 pq 的最小包含 [p, q]-特殊单词 w 出发，通过对 w 进行 h（0 < h < q）次独立的完全弱化操作，可得到二进制字母表上的 [p, q]-特殊单词 v。v 恰好有 h 组间隔为 q 的 p 个洞，每组洞可视为一个字母。对于洞集合中的每个洞，若该字母与创建洞时移除的字母相同，可将该字母替换回去，保持特殊性；若为另一个字母且洞原本就是洞，也可将洞替换为该字母，同样保持特殊性。因此，v 可由 2h 个不同的最小 [p, q]-特殊单词构造而成。通过从 q 个位置中选择 h 个位置进行弱化，可得到长度为 pq 的 [p, q]-特殊单词的总数为 (\binom{q}{h}(2^p - 2)2^{q - h})。

1.2 计算 (N_{h,k}(n)) 的相关讨论

若已知 1 到 n - 1 个顶点的图的子图分量多项式对于其任何因子子集的值，使用特定定理计算 (N_{h,k}(n)) 时，若从 n = 1 开始每次递增 1 进行计算，每一步最多只需计算一个新的多项式，多数情况下甚至无需完全计算新的内容。这是特定定理的性质，通过命题可计算定理中第一个和式。若 n 有大因子 (f_1, \ldots, f_m)，要计算 (LF(n)) 的某个真子集 F 的图表示的子图分量多项式，可根据定理用较小的多项式来计算。若 n 是其不同质因子乘积的倍数，可再次应用该定理；否则，需计算