9、平面、圆和球体相关数学知识解析

平面、圆和球体相关数学知识解析

1. 函数的反函数问题

首先来看一些关于函数反函数的问题。对于函数 (f(x) = 5)，它是一个常函数，无论 (x) 取何值，(f(x)) 都等于 5。从反函数的定义来看，如果 (f) 和 (g) 是函数，且对于 (f) 和 (g) 定义域内的所有 (x) 和 (y)，都有 (g(f(x)) = x) 且 (f(g(y)) = y)，那么 (f) 和 (g) 互为反函数。而对于 (f(x) = 5)，不同的 (x) 对应相同的函数值 5，不满足一一对应的关系，所以它没有反函数。

再看函数 (f(x) = x^2)，要使正的 (\sqrt{x}) 是它的反函数，需要对其定义域进行限制。因为 (y = x^2) 的图像是一个开口向上的抛物线，若不限制定义域，一个 (y) 值会对应两个 (x) 值（除 (y = 0) 外），不满足反函数一一对应的要求。当把定义域限制为 (x \geq 0) 时，函数 (f(x) = x^2) 单调递增，满足一一对应关系，此时正的 (\sqrt{x}) 就是它的反函数。

2. 实数平面

2.1 一维数轴

在构建整数结构时，我们会用到传统的数轴。数轴是一维的，只需要一个值（坐标）就能唯一确定数轴上的一个点。例如，对于实数 (x)，我们用 ((x)) 表示数轴上的点，像点 ((-2.6)) 就在标记 (-3) 和 (-2) 之间。当从上下文能明确我们指的是点还是表示其相对原点位置的数字时，括号可以省略。

2.2 二维平面与笛卡尔坐标

当把数轴扩展到二维时，就形成了实数平面。在二维平面中，需要两个坐标 (x) 和 (y) 来确定一个点的