统计学学习笔记——（7）抽样分布

中心极限定理（Central Limit Theorem）

中心极限定理帮助我们了解以下事实，无论总体的分布是否为正态：
1. 样本均值的均值和总体均值近似
2. 样本均值的标准偏差总是等于标准误差
3. 样本容量越大，其样本均值越接近正态分布

抽样分布（Sampling Distributions）

抽样分布是样本统计量的分布。它可以被看作是从同一指定大小的总体中，所有可能样本的统计量分布。

示例

我们对某一特定森林中树木的平均高度感兴趣。为了快速得到结果，我们让5名学生每个人都去测量25颗树的样本。最后，每个学生都带回了他所收集到的树的平均高度。
样本结果为：35.23， 36.71， 33.21， 38.2， 35.54
假设我们知道总体森林中树木的平均高度为36英尺，标准偏差为2英尺。那么学生收集到的均值与总体均值有多少的标准误差？

首先我们需要求出所有学生收集到的样本均值的平均值：

$$\bar{x}=\frac{35.23 + 36.71 + 33.21 + 38.2 + 35.54}{5}=35.78$$
然后通过公式计算样本的标准误差：
$$SE=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{25}}=0.4$$
现在我们可以通过Z值公式求出样本均值与总体均值相差多少个标准误差：
$$Z=\frac{\bar{x}-\mu}{SE}=\frac{35.78-36}{0.4}=-0.55$$
可以看出我们的样本分布非常接近于总体分布。