18、主成分变换：原理、应用与图像增强

主成分变换：原理、应用与图像增强

1. 零相关旋转变换

在光谱空间中，我们思考是否存在一个新的坐标系，能让数据在其中无相关性地表示，也就是使新坐标系下的协方差矩阵为对角矩阵。对于二维情况，这样的新坐标系如图 6.7 所示。若用向量 $y$ 表示新坐标系下的像素点，我们需找到原 $x$ 坐标的线性变换 $G$，满足：
$y = Gx = D^Tx$ （6.5）
同时，要保证 $y$ 坐标下像素数据的协方差矩阵为对角矩阵。将 $G$ 表示为 $D^T$ ，便于后续将主成分与其他变换操作进行比较。

在 $y$ 坐标空间中，数据的协方差矩阵定义为：
$C_y = E{(y - m_y)(y - m_y)^T}$
其中，$m_y$ 是 $y$ 坐标下的数据均值向量。容易证明：
$m_y = E{y} = E{D^Tx} = D^TE{x} = D^Tm_x$
这里，$m_x$ 是原 $x$ 坐标系下的均值向量。所以，新 $y$ 坐标下的协方差矩阵为：
$C_y = E{(D^Tx - D^Tm_x)(D^Tx - D^Tm_x)^T}$
可进一步写成：
$C_y = D^TE{(x - m_x)(x - m_x)^T}D = D^TC_xD = GC_xG^T$ （6.6）
其中，$C_x$ 是 $x$ 坐标空间中数据的协方差矩阵。

我们要找的 $y$ 坐标空间需使像素数据无相关性，这就要求 $C_y$ 为对角矩阵。从矩阵代数可知，（6.6）式是原协方差矩阵 $C_x$ 的对角形式，$C_y$ 是 $C_x$ 特征值构成的对角矩阵，$D$ 是 $C_x$ 特征向量构成的矩阵。

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