29、博弈论策略分析与求解方法详解

博弈论策略分析与求解方法详解

1. 博弈论基础与优势原则

在博弈论中，为确定每个参与者的最佳策略，可运用优势原则对收益矩阵进行推导。以两家公司 A 和 B 为例，公司 A 有三种策略：提前 4 个月（A1）、提前 6 个月（A2）、提前 8 个月（A3）推出新产品；公司 B 也有三种策略：提前 1 个月（B1）、提前 3 个月（B2）、提前 5 个月（B3）推出新产品。收益矩阵如下：
| 公司 B \ 公司 A | 提前 1 个月（B1） | 提前 3 个月（B2） | 提前 5 个月（B3） |
| — | — | — | — |
| 提前 4 个月（A1） | 3 | 4 | 2 |
| 提前 6 个月（A2） | 2 | 3 | 1 |
| 提前 8 个月（A3） | 4 | -2 | -1 |

对于行参与者（公司 A），其目标是最大化收益。若第二种策略的收益值大于或至少等于第一种策略，则称第一种策略被第二种策略支配。比较 A1 和 A2，a11（3）大于 a21（2），a12（4）大于 a22（3），a13（2）大于 a23（1），所以 A1 是支配策略，A2 是被支配策略。

对于列参与者（公司 B），其目标是最小化损失。若第二种策略的收益值小于或至少等于第一种策略，则称第一种策略被第二种策略支配。比较 B1 和 B3，B3 是支配策略，因为 2 小于 3， -1 小于 4。经过多次比较和筛选，最终得出公司 B 会选择提前 5 个月（B3）推出新产品，公司 A 会选择提前 4 个月（A1）推出新产品，这一策略组合使公司 A 获得 2 个单位的收益，公司 B 损失 2 个单位，形成零和博弈。

此过程可总结为以下步骤：
1. 对于公司 A，比较各策略的收益值，选择收益更大的策略。
2. 对于公司 B，比较各策略的损失值，选择损失更小的策略。
3. 重复上述步骤，逐步筛选出最终的策略组合。

2. 混合策略博弈

在某些情况下，不存在明确的支配策略，此时需采用混合策略。仍以两家公司竞争推出新产品为例，新的收益矩阵如下：
| 公司 B \ 公司 A | 提前 1 个月（B1） | 提前 3 个月（B2） | 提前 5 个月（B3） |
| — | — | — | — |
| 提前 4 个月（A1） | 2 | 4 | 3 |
| 提前 6 个月（A2） | 2 | 3 | 1 |
| 提前 8 个月（A3） | 4 | -2 | -1 |

运用极大极小和极小极大规则寻找鞍点，得出极大极小值为 3，极小极大值为 2，这表明公司 A 会选择 A1 以最大化收益至 2 个单位，公司 B 会选择 B3 以最小化损失至 3 个单位。但由于不存在鞍点，该博弈不稳定。

公司 A 希望通过选择 A1 并迫使公司 B 选择 B2 来最大化收益至 4 个单位；而公司 B 只有在公司 A 选择 A3 时才会选择 B2，以获得 2 个单位的收益（收益值为 -2），同时使公司 A 损失 2 个单位。为避免损失，公司 A 希望通过持续选择 A3 促使公司 B 选择 B1，从而获得 4 个单位的收益，但公司 B 不会选择 B1，因为该策略总是导致损失。因此，公司 B 会选择 B2 或 B3。同理，公司 B 选择 B3 需公司 A 选择 A3，为避免损失，公司 A 会在 A1 或 A2 中选择。所以，双方都没有明确的确定策略，这也意味着该博弈没有支配策略。

通过优势原则分析，A1 支配 A2，但无法进一步简化收益矩阵，因为对于公司 A 和 B，没有单一策略能支配其他策略。在这种情况下，每个参与者通过为每个替代策略分配概率来随机选择策略。若公司 A 为策略 A1 分配概率 x，则 A3 的概率为 1 - x（0 < x < 1）；公司 B 有三种选择，无法简单地分配概率。

3. 图形法求解混合策略博弈

3.1 2*m 博弈的图形法

在消除被支配策略后，公司 A 有两种策略（A1 和 A3），公司 B 有三种策略（B1、B2 和 B3），这是混合策略的情况。公司 A 为策略 A1 分配概率 x，则 A3 的概率为 1 - x。为确定选择特定策略的可能性，需找到 x 的值。为此，将公司 A 针对公司 B 每个纯策略的期望收益用 x 表示，并在两种条件下绘制在图上：
1. 当公司 A 选择策略 A1（x = 1），A3 = 0。
2. 当公司 A 不选择策略 A1（x = 0），A3 = 1。

公司 A 针对公司 B 各策略的期望收益如下：
| B 的策略 | 公司 A 的期望收益 |
| — | — |
| B1 | 2x + 4(1 - x) |
| B2 | 4x - 2(1 - x) |
| B3 | 3x - 1(1 - x) |

根据上述条件计算各策略的收益值：
- 对于 B1，当 x = 1 时，收益为 2；当 x = 0 时，收益为 4，可在图上用点 (2, 4) 表示。
- 对于 B2，当 x = 1 时，收益为 4；当 x = 0 时，收益为 -2，可在图上用点 (4, -2) 表示。

公司 A 采用极大极小规则，即总是试图最大化其最小收益。在图中，找到下界的最高交点，该点是由 B1 和 B3 两条线的交点形成的极大极小点。通过图形法，将公司 B 的三种替代策略减少到两种最合适的策略 B1 和 B3，得到新的 2*2 收益矩阵：
| 公司 B \ 公司 A | 提前 1 个月（B1） | 提前 5 个月（B3） |
| — | — | — |
| 提前 4 个月（A1） | 2 | 3 |
| 提前 8 个月（A3） | 4 | -1 |

此过程可通过以下 mermaid 流程图表示：

graph LR
    A[初始 2*m 矩阵] --> B[消除被支配策略]
    B --> C[分配概率 x 给 A1]
    C --> D[计算期望收益]
    D --> E[绘制图形]
    E --> F[找到极大极小点]
    F --> G[得到 2*2 矩阵]

3.2 2*m 博弈的代数法

为确定双方参与者的最合适策略和博弈值，可采用代数法。
- 公司 A 的期望收益：
- 若公司 B 选择 B1，公司 A 的期望收益为 2x + 4(1 - x)。
- 若公司 B 选择 B3，公司 A 的期望收益为 3x - 1(1 - x)。
令两者相等：2x + 4(1 - x) = 3x - 1(1 - x)，解得 x = 5/6，1 - x = 1/6。所以，公司 A 选择 A1 的概率为 5/6，选择 A3 的概率为 1/6。
- 公司 B 的期望收益：
- 若公司 A 选择 A1，公司 B 的期望收益为 2y + 3(1 - y)。
- 若公司 A 选择 A3，公司 B 的期望收益为 4y - 1(1 - y)。
令两者相等：2y + 3(1 - y) = 4y - 1(1 - y)，解得 y = 2/3，1 - y = 1/3。所以，公司 B 选择 B1 的概率为 2/3，选择 B3 的概率为 1/3。

将 x 和 y 的值代入期望收益方程，可得到博弈值为 7/3。这表明无论公司 A 和公司 B 选择哪种策略，最终的收益和损失总和为零，双方对策略选择变得无所谓。

3.3 m*2 博弈的图形法与代数法

假设公司 B 投入更多资源加快新产品开发，新的收益矩阵如下：
| 公司 B \ 公司 A | 提前 1 个月（B1） | 提前 3 个月（B2） | 提前 5 个月（B3） |
| — | — | — | — |
| 提前 4 个月（A1） | 1 | 4 | 2 |
| 提前 6 个月（A2） | 2 | 3 | 1 |
| 提前 8 个月（A3） | 4 | -2 | -2 |

运用极小极大和极大极小规则，发现不存在鞍点，这是混合策略的情况。通过优势原则，可推断出 B2 被 B3 支配，予以消除。此时，公司 A 有多种策略，公司 B 有 2 种策略，形成 m*2 矩阵。

为图形化求解，为 B1 和 B3 分配概率 y 和 1 - y，公司 B 针对公司 A 各策略的期望收益如下：
| A 的策略 | 公司 B 的期望收益 |
| — | — |
| A1 | 1y + 2(1 - y) |
| A2 | 2y + 1(1 - y) |
| A3 | 4y - 2(1 - y) |

公司 B 的目标是通过极小极大规则最小化其最大损失。在图中，找到上界的最低交点，该点是由 A1 和 A2 两条线的交点形成的极小极大点。这意味着公司 A 会为 A1 和 A2 随机分配概率 x 和 1 - x，将 3 2 收益矩阵简化为 2 2 矩阵：
| 公司 B \ 公司 A | 提前 1 个月（B1） | 提前 5 个月（B3） |
| — | — | — |
| 提前 4 个月（A1） | 1 | 2 |
| 提前 6 个月（A2） | 2 | 1 |

同样采用代数法求解：
- 公司 A 的期望收益：
- 若公司 B 选择 B1，公司 A 的期望收益为 1x + 2(1 - x)。
- 若公司 B 选择 B3，公司 A 的期望收益为 2x + 1(1 - x)。
令两者相等：1x + 2(1 - x) = 2x + 1(1 - x)，解得 x = 1/2，1 - x = 1/2。所以，公司 A 选择 A1 和 A2 的概率均为 1/2。
- 公司 B 的期望收益：
- 若公司 A 选择 A1，公司 B 的期望收益为 1y + 2(1 - y)。
- 若公司 A 选择 A2，公司 B 的期望收益为 2y + 1(1 - y)。
令两者相等：1y + 2(1 - y) = 2y + 1(1 - y)，解得 y = 1/2，1 - y = 1/2。所以，公司 B 选择 B1 和 B3 的概率均为 1/2。

将 x 和 y 的值代入期望收益方程，可得到博弈值为 3/2。同样，无论公司 A 和公司 B 选择哪种策略，最终的收益和损失总和为零，双方对策略选择变得无所谓。

4. 线性规划模型

上述问题也可通过构建线性规划模型并使用 Excel 的求解器来解决。公司 A 的目标是最大化收益，为其策略 A1、A2 和 A3 分配概率 y1、y2 和 y3，可得到以下方程：
- A1 = 2y1 + 4y2 + 3y3
- A2 = 2y1 + 3y2 + y3
- A3 = 4y1 - 2y2 - y3

目标函数为最大化 Z = max(∑a1iyi + ∑a2iyi + ∑a3iyi)，约束条件为：
- y1 + y2 + y3 = 1
- 0 ≤ yi ≤ 1（i = 1, 2, …, n）

公司 B 的目标是最小化损失，其各策略的方程如下：
- B1 = 2x1 + 2x2 + 4x3
- B2 = 4x1 + 3x2 - 2x3

通过线性规划模型，可以更系统地解决博弈问题，找到最优的策略组合和博弈值。

综上所述，博弈论在解决竞争和决策问题中具有重要作用。通过优势原则、混合策略、图形法、代数法和线性规划等方法，可以有效地分析和解决各种博弈问题，为决策者提供科学的决策依据。

博弈论策略分析与求解方法详解

5. 不同求解方法的对比与应用场景

在博弈论中，不同的求解方法适用于不同的情况，下面对前面介绍的几种方法进行对比，并分析其应用场景。

方法	适用情况	优点	缺点
优势原则	存在明确支配策略的博弈	简单直观，能快速筛选出部分策略	对于复杂博弈或无支配策略情况不适用
图形法（2 m 和 m 2 博弈）	参与者策略数量符合 2 m 或 m 2 形式的混合策略博弈	直观展示策略关系，有助于理解博弈过程	对于策略数量过多时，图形绘制和分析较复杂
代数法（2 m 和 m 2 博弈）	经过图形法简化为 2*2 矩阵的混合策略博弈	能精确计算出各策略的概率和博弈值	需要一定的数学计算能力，对于复杂模型计算量较大
线性规划模型	适用于各种复杂的博弈问题	系统全面，可处理多策略、多约束的情况	需要掌握线性规划知识和相关软件操作

例如，在简单的市场竞争中，如果各企业的策略收益有明显的大小关系，优势原则可以快速帮助企业确定大致的策略方向。当市场情况较为复杂，企业之间的策略相互影响且没有明显的支配策略时，图形法和代数法可以用于分析混合策略的可能性。而对于涉及多个参与者、多种策略和复杂约束条件的大型博弈问题，线性规划模型则是更合适的选择。

6. 博弈论在实际商业中的应用案例分析

为了更好地理解博弈论在实际商业中的应用，下面通过几个具体案例进行分析。

6.1 两家电子产品公司的新产品发布博弈

假设两家电子产品公司 A 和 B 计划推出一款新手机。公司 A 有两种策略：提前一个月发布（A1）和按时发布（A2）；公司 B 也有两种策略：提前半个月发布（B1）和按时发布（B2）。收益矩阵如下：
| 公司 B \ 公司 A | 提前半个月发布（B1） | 按时发布（B2） |
| — | — | — |
| 提前一个月发布（A1） | 300， -100 | 500， 200 |
| 按时发布（A2） | 100， 300 | 400， 400 |

通过优势原则分析，没有明显的支配策略。采用代数法，设公司 A 选择 A1 的概率为 x，则选择 A2 的概率为 1 - x；公司 B 选择 B1 的概率为 y，则选择 B2 的概率为 1 - y。
- 公司 A 的期望收益：
- 若公司 B 选择 B1，期望收益为 300x + 100(1 - x)。
- 若公司 B 选择 B2，期望收益为 500x + 400(1 - x)。
令两者相等：300x + 100(1 - x) = 500x + 400(1 - x)，解得 x = 3/5。
- 公司 B 的期望收益：
- 若公司 A 选择 A1，期望收益为 -100y + 200(1 - y)。
- 若公司 A 选择 A2，期望收益为 300y + 400(1 - y)。
令两者相等： -100y + 200(1 - y) = 300y + 400(1 - y)，解得 y = 1/3。

这意味着公司 A 以 3/5 的概率提前一个月发布，以 2/5 的概率按时发布；公司 B 以 1/3 的概率提前半个月发布，以 2/3 的概率按时发布。通过这种混合策略，双方可以在竞争中达到一种相对平衡的状态。

6.2 供应商与零售商的合作博弈

在供应商与零售商的关系中，供应商可以选择提供高质量产品（S1）或低质量产品（S2），零售商可以选择大量采购（R1）或少量采购（R2）。收益矩阵如下：
| 零售商 \ 供应商 | 大量采购（R1） | 少量采购（R2） |
| — | — | — |
| 提供高质量产品（S1） | 500， 300 | 300， 200 |
| 提供低质量产品（S2） | 600， 100 | 200， 150 |

从收益矩阵可以看出，对于供应商来说，没有明显的支配策略。对于零售商，如果供应商提供高质量产品，选择大量采购收益更高；如果供应商提供低质量产品，选择少量采购收益更高。

在这种情况下，双方可以通过沟通和协商，建立长期合作关系，以达到共赢的局面。例如，供应商承诺提供高质量产品，零售商承诺大量采购，这样双方都能获得较高的收益。这体现了博弈论在商业合作中的应用，即通过合理的策略选择和合作机制，实现双方利益的最大化。

7. 博弈论的局限性与未来发展趋势

虽然博弈论在解决竞争和决策问题中具有重要作用，但也存在一定的局限性。

7.1 局限性

• 假设条件的理想化 ：博弈论通常基于一些理想化的假设，如参与者完全理性、信息完全对称等。在实际商业中，参与者往往受到情绪、认知能力等因素的影响，难以做到完全理性；信息也往往是不完全对称的，这会影响博弈结果的准确性。
• 模型的简化 ：为了便于分析和求解，博弈论模型往往对实际问题进行了简化。实际商业情况可能非常复杂，涉及众多因素和不确定性，模型难以完全反映这些情况。
• 计算复杂度 ：对于复杂的博弈问题，求解过程可能非常复杂，需要大量的计算资源和时间。在实际决策中，决策者可能没有足够的时间和资源进行精确的计算。

7.2 未来发展趋势

• 与其他学科的融合 ：博弈论将与心理学、社会学、经济学等学科进一步融合，考虑参与者的心理因素、社会文化背景等，使模型更加贴近实际情况。
• 动态博弈的研究 ：实际商业中的博弈往往是动态的，参与者的策略会随着时间和情况的变化而变化。未来将加强对动态博弈的研究，以更好地应对复杂的商业环境。
• 大数据和人工智能的应用 ：利用大数据和人工智能技术，可以获取更多的信息，提高博弈模型的准确性和求解效率。例如，通过机器学习算法可以自动分析大量的市场数据，为决策者提供更科学的策略建议。

总结

博弈论作为一种重要的决策分析工具，在商业竞争、合作等领域具有广泛的应用。通过优势原则、混合策略、图形法、代数法和线性规划等方法，可以有效地分析和解决各种博弈问题。然而，我们也应该认识到博弈论的局限性，并关注其未来的发展趋势。在实际应用中，决策者应结合实际情况，灵活运用博弈论方法，为企业的决策提供科学的依据。同时，随着技术的不断发展，博弈论将不断完善和创新，为商业决策带来更多的价值。

通过以下 mermaid 流程图总结整个博弈论分析与求解的过程：

graph LR
    A[确定博弈问题] --> B[判断是否有支配策略]
    B -- 有 --> C[使用优势原则筛选策略]
    B -- 无 --> D[判断策略数量形式]
    D -- 2*m 或 m*2 --> E[使用图形法分析]
    E --> F[简化为 2*2 矩阵]
    F --> G[使用代数法计算概率和博弈值]
    D -- 其他 --> H[构建线性规划模型]
    H --> I[使用软件求解]
    C --> J[得出初步策略组合]
    G --> J
    I --> J
    J --> K[结合实际情况调整策略]
    K --> L[应用于实际决策]

通过以上的分析和总结，我们可以更全面地了解博弈论的理论和应用，为在实际商业中做出更明智的决策提供帮助。