博弈论 | 详解搞定组合博弈问题的SG函数

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今天这篇是算法与数据结构专题的第27篇文章，我们继续深入博弈论问题。今天我们要介绍博弈论当中非常重要的一个定理和函数，通过它我们可以解决许多看起来杂乱无章的博弈问题，使得我们可以轻松地解决一大类博弈问题。

有了SG函数和SG定理，我们不再是单纯地通过构思、分析和找规律去解决问题了。并且我们之前学过的巴什博奕、威佐夫博弈以及Nim博弈都可以使用SG函数来解决，相当于我们找到了这一大类问题的通解。下面，我们来看几个基本定理和基本概念。

基本定理

ICG游戏

前面我们说了，SG函数和SG定理可以解决一大类的博弈问题。这一大类的博弈问题称为ICG游戏，我们之前介绍过的三种博弈模型，本质上都属于ICG游戏。

关于ICG游戏，它的定义如下，需要满足三个条件：

1. 游戏有两人参与，两人轮流做出决策，并且两人做出的决策都是对自己最优的
2. 当有一人无法决策的时候，该人失败。无论两人如何决策，该游戏都必然会在有限时间内结束
3. 游戏中同一个状态不能达到多次，且游戏没有平局。游戏者在某个确定状态做出的决策集合只与状态有关，与游戏者无关

必胜态与必败态

也就是奇异状态与非奇异状态，我们定义P状态是必败态，N状态是必胜态。我们可以简单理解成，在P状态的玩家一定会输，而在N状态的玩家一定会赢。

这一点在之前的Nim取子的文章当中我们曾经深入地分析过，展开来说，其实也有三条：

1. 无法移动的状态为P状态
2. 可以移动到P状态的状态为N
3. 所有移动都会进入N局面的局面为P

我们曾经在分析威佐夫博弈问题的时候，将游戏局面抽象成了二维平面坐标系当中的点。其实所有ICG游戏都可以想象成一张有向无环图（DAG），游戏开始时有一颗放在起点的棋子，两个玩家轮流移动棋子，直到不能移动的玩家落败。所有只能移动到终点的局面都是必胜的，所有只能连接必胜点的点是必败的。我们用递归的思路可以计算出所有点的状态。

当然我们用算法去搜索遍历所有状态这耗时太多了，我们可以通过一个函数来计算它，这就是我们今天文章讨论的重点——SG函数。

Sprague-Grundy数的推导

SG是Sprague-Grundy的缩写，我没有记错，这应该是两个人名，它使用起来非常简单，但是推导过程有些复杂。如果我们忽略推导过程直接去研究它的使用的话，你会有一种在运用魔法的感觉。因为你完全猜测不到它其中的原理，所以我们需要详细解释一下它的推导过程，这样才能加深理解。

我们先明确几个概念，首先对于ICG游戏来说，失败的最终状态只有一个，就是无法移动的点，可以认为是DAG图中的终点。从这个终点倒推，所有能够直接连接终点的点是N点。这个很好理解，假如在当前的状态当中，可以移动到一个对手的必败状态，那么对于当前玩家当然是必胜的。

我们对这些状态做一个简单的分层，直接可以连接P点的点是一级胜态。比如nim游戏当中的(1, 0)状态就是一级胜态，它只能通往P点。我们把可以变成败态也可以进入一级胜态的点称为二级胜态，比如nim游戏当中的(0, 2)。比如它进入(1, 0)便是一级胜态，而也可以直接进入(0, 0)变成败态，我们把这样的状态称为二级胜态。类似的，如果一个胜态可以变成败态也可以变成1至n-1级的所有胜态，则称为n级胜态，败态可以认为是0级胜态。

接着我们来看胜态的组合，我们可以把Nim取子问题中的结论照搬过来。两个同级的胜态组合是败态，两个不同级的胜态组合是胜态。原因也很简单，就和Nim取子问题中面临两堆同样多的石子必败一样。因为后手可以拷贝先手的操作，直到无法继续操作，游戏结束。而两个不同的胜态，先手可以将其中一个转化成和另一个一样，从而让后手面临两个一样的胜态，所以不同的胜态组合是胜态。

注意这个结论要成立，有两个前提条件，第一个是一个n级胜态可以转移到1 - n-1级任意胜态。第二个是胜态级数只能降低不能升高，其实能