【GDOI2018模拟8.11】质数

最新推荐文章于 2021-03-22 19:22:40 发布

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#GDOI模拟 #质数 #数论 #杜教筛 #莫比乌斯函数

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杜教筛

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本文探讨了一种计算特定数学序列的方法，该序列涉及质因子的数量及其在杜教筛算法中的应用。通过将问题转化为求解积性函数，利用杜教筛优化计算过程，并介绍了一种新的求和技巧来解决大规模数据范围内的问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

求

\sum i = 1 n 2 f (i)

$\sum_{i=1}^{n}2^{f(i)}$
f(i)表示i的不同的质因子个数
n<=10^12

Solution

我们设g(i)=2^f(i),显然g是积性函数
那么我们可以尝试杜教筛g
把g卷上一个mu，设g*mu=h
显然h也是积性函数
分析一下h(p^k)，我们可以发现h(p^k)=[k==1]
特别的h[1]=1
那么归纳一下我们可以发现h=mu^2！！
也就是g*mu=mu^2
两边再卷上一个I，那么g=mu^2*I
说人话就是 $g(n)=\sum_{d|n}mu(i)^2$
这样是可以杜教筛的，但是由于出题人很不良心这样会被卡成暴力分
我们需要一个更优秀的解法
先把原式子写出来

A n s = \sum i = 1 n \sum d | i μ (d) 2

$Ans=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}\mu(d)^2$
枚举j=i/d,

A n s = \sum j = 1 n \sum d = 1 ⌊ n j 2 ⌋ μ (d) 2

$Ans=\sum_{j=1}^{n}\sum_{d=1}^{\lfloor{n\over j^2}\rfloor}\mu(d)^2$
考虑

∑ni=1μ(d)2 $\sum_{i=1}^{n}\mu(d)^2$ 要怎么求
如果存在一个p^2|d那么mu(d)^2=0否则mu(d)^2=1
如果我们考虑容斥，枚举一个p^2把答案减去n/(p^2)
但这样会算重所有我们要加上n/(p*p’)^2
可以发现容斥系数相当于mu
所以

\sum i = 1 n μ (d) 2 = \sum i = 1 n \sqrt μ (i) ⌊ n i 2 ⌋

$\sum_{i=1}^{n}\mu(d)^2=\sum_{i=1}^{\sqrt n}\mu(i){\lfloor{n\over i^2}\rfloor}$

A n s = \sum j = 1 n \sum d = 1 ⌊ n j 2 ⌋ μ (d) ⌊ n d 2 j ⌋

$Ans=\sum_{j=1}^{n}\sum_{d=1}^{\lfloor{n\over j^2}\rfloor}\mu(d){\lfloor{n\over d^2j}\rfloor}$

A n s = \sum d = 1 n \sqrt μ (d) \sum j = 1 ⌊ n d 2 ⌋ ⌊ n d 2 j ⌋

$Ans=\sum_{d=1}^{\sqrt n}\mu(d)\sum_{j=1}^{\lfloor{n\over d^2}\rfloor}\lfloor{n\over d^2j}\rfloor$
后面可以分块，复杂度

O(n√logn13) $O(\sqrt n log n^{1\over 3})$

Code

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e6+5,mo=998244353;
int p[N],mu[N];
bool bz[N];
ll n,ans;
void prepare(int n) {
    mu[1]=1;
    fo(i,2,n) {
        if (!bz[i]) p[++p[0]]=i,mu[i]=-1;
        fo(j,1,p[0]) {
            int k=i*p[j];if (k>n) break;
            bz[k]=1;if (!(i%p[j])) break;
            mu[k]=-mu[i];
        }
    }
}
int main() {
    scanf("%lld",&n);
    int m=sqrt(n);
    prepare(m);
    fo(i,1,m) {
        if (!mu[i]) continue;
        int sum=0;ll nn=n/i/i;
        for(ll l=1,r;l<=nn;l=r+1) {
            r=nn/(nn/l);
            (sum+=(ll)(r-l+1)*(nn/l)%mo)%=mo;
        }
        if (mu[i]==1) (ans+=sum)%=mo;
        else (ans+=mo-sum)%=mo;
    }
    printf("%d\n",ans);
}