【jzoj5250】【GDOI2018模拟8.11】【质数】

题目大意

解题思路

$ans=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}[(d,i/d)==1]$

因为$2^{f(i)}$相当于从i的质因子中考虑选不选进一个数里，要么选要么不选，等同于拆成两个互质的数。

$ans=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\sum_{p|d\&\&p|(i/d)}[(d,i/d)==1]$

如果（d,i/d）！=1那它约数的mu和为0，如果是1则mu和为1。

$ans=\sum_{i=1}^n\sum_{p^2|i}g(i/p^2)\mu(p)$

可以发现i的因子一定含有两个p，而i的其他因子可以随便组合成i的因数。

$ans=\sum_{p=1}^{sqrt(n)}\mu(p)\sum_{i=1}^{n/p^2}g(i)$

交换主体

$ans=\sum_{p=1}^{sqrt(n)}\mu(p)\sum_{i=1}^{n/p^2}n/(p^2i)$

剩下的线筛加分快即可。

code

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LF double
#define LL long long
#define ULL unsigned LL
#define fo(i,j,k) for(LL i=j;i<=k;i++)
#define fd(i,j,k) for(LL i=j;i>=k;i--)
#define fr(i,j) for(LL i=begin[j];i;i=next[i])
using namespace std;
LL const mn=1e6+9,mo=998244353;
LL n,ss[mn],tag[mn],mu[mn];
int main(){
    scanf("%lld",&n);LL nn=sqrt(n);mu[1]=1;
    fo(i,2,nn){
        if(!tag[i])ss[++ss[0]]=i,mu[i]=-1;
        fo(j,1,ss[0]){
            if(i*ss[j]>nn)break;
            tag[i*ss[j]]=1;
            if(i%ss[j]==0){
                mu[i*ss[j]]=0;
                break;
            }else mu[i*ss[j]]=-mu[i];
        }
    }
    LL ans=0;
    fo(i,1,nn){
        LL mm=n/i/i;
        for(LL j=1,k;j<=mm;j=k+1){
            k=mm/(mm/j);
            ans=(ans+mu[i]*mm/j%mo*((k-j+1)%mo))%mo;
        }
    }
    printf("%lld",(ans+mo)%mo);
    return 0;
}