【JZOJ5250】【GDOI2018模拟8.11】质数

最新推荐文章于 2021-03-22 19:22:40 发布

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#gcd #JZOJ5250 #GDOI2018 #质数 #莫比乌斯反演

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数论

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本文详细解析了一道涉及数论的复杂算法问题，通过巧妙转换将原问题转化为求解特定数学表达式的值，并最终通过分块计算的方式给出了高效的求解方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

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Data Constraint

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Solution

我们发现 $2^{f(n)}$ 就等于 $\sum_{i|n}[gcd(i,n/i)==1]$
所以题目就是求：

\sum i = 1 n \sum j | i [g c d (j, i / j) = = 1]

$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j|i}[gcd(j,i/j)==1]$

= \sum j = 1 n \sum i = 1 ⌊ n / j ⌋ [g c d (i, j) = = 1]

$=\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{\lfloor n/j\rfloor}[gcd(i,j)==1]$

= \sum j = 1 n \sum i = 1 ⌊ n / j ⌋ \sum d | g c d (i, j) μ (d)

$=\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{\lfloor n/j\rfloor}\sum_{d|gcd(i,j)}\mu(d)$

= \sum d = 1 n \sqrt μ (d) \sum k = 1 ⌊ n / d ⌋ ⌊ ⌊ n / d 2 ⌋ k ⌋

$=\sum_{d=1}^{\sqrt n}\mu(d)\sum_{k=1}^{\lfloor n/d\rfloor}{ \lfloor{\lfloor n/d^2\rfloor\over k}\rfloor}$
枚举d，然后分块计算后面即可。

Code

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll maxn=1e6+5,mo=998244353; 
ll bz[maxn],u[maxn],n,i,t,j,k,l,x,y,z,d[maxn],ans,p[maxn];
ll dg(ll n){
    ll t,i=1,x=0;
    while (i<=n){
        t=n/(n/i);
        x=x+n/i*(t-i+1)%mo;i=t+1;
    }
    return x%mo;
}
int main(){
//  freopen("data.in","r",stdin);
    scanf("%lld",&n);u[1]=1;t=sqrt(n);
    for (i=2;i<=t;i++){
        if (!bz[i]) bz[i]=1,d[++d[0]]=i,u[i]=-1;
        for (j=1;j<=d[0];j++){
            if (i*d[j]>t) break;
            u[i*d[j]]=-u[i];bz[i*d[j]]=1;
            if (i%d[j]==0){
                u[i*d[j]]=0;
                break;
            }
        }
    }
    for (i=1;i<=t;i++)
        ans=ans+u[i]*dg(n/(i*i));
    ans=(ans%mo+mo)%mo;
    printf("%lld\n",ans);
}