11、生成具有一阶复乘方程的配对友好曲线及普通椭圆曲线上配对计算的最终幂运算优化

生成具有一阶复乘方程的配对友好曲线及普通椭圆曲线上配对计算的最终幂运算优化

1. 生成具有一阶复乘方程的配对友好曲线

在生成配对友好曲线时，我们可以采用以下步骤：
1. 找到最小的正整数 (n \in \mathbb{Z})，使得 (n \cdot q(x) \in \mathbb{Z}[x])。
2. 找出 (n) 的最小因子 (m) 以及模 (m) 的剩余类 (b)，使得当 (x \equiv b \pmod{m}) 时，(q(x) \in \mathbb{Z}[x])。
3. 找出那些使 (t(x) \in \mathbb{Z}) 的剩余类的子集（如果 (a_0) 和 (a_1) 的选择使得 (d(x) \in \mathbb{Z}[x])，则此步骤不必要）。
4. 令 (r(mx + b) = c\tilde{r}(mx + b))（其中 (c) 为常数）。如果 (\tilde{r}(mx + b)) 和 (q(mx + b)) 表示素数，则输出 (t(mx + b))，(\tilde{r}(mx + b))，(q(mx + b))。

为了使用复乘（CM）方法构造曲线，我们需要 CM 判别式 (D)，出于实际原因，它必须小于约 (10^{13})。由于我们的方法生成了具有一阶 CM 方程的配对友好曲线族，我们可以从 CM 方程的无平方部分获得 (D)。

当算法输出具有嵌入度 (k) 且 (\varphi(k) \geq 6) 的配对友好曲线时，(r(x)) 的次数至少为 6。为确保安全性，椭圆曲线子群的大小 (r) 必须约为 160 位，因此我们必须为参数 (x_0) 找到素数 (q(x_0)) 和 (r(x_0))，其中 (x_0