克罗内克积

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分类专栏： 数学基础 文章标签： qt c

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定义

如果A是一个 m × n 的矩阵，而B是一个 p × q 的矩阵，克罗内克积A /otimes B则是一个 mp × nq 的分块矩阵

A /otimes B = /begin{bmatrix} a_{11} B & /cdots & a_{1n}B // /vdots & /ddots & /vdots // a_{m1} B & /cdots & a_{mn} B /end{bmatrix}.

更具体地可表示为

A /otimes B = /begin{bmatrix} a_{11} b_{11} & a_{11} b_{12} & /cdots & a_{11} b_{1q} & /cdots & /cdots & a_{1n} b_{11} & a_{1n} b_{12} & /cdots & a_{1n} b_{1q} // a_{11} b_{21} & a_{11} b_{22} & /cdots & a_{11} b_{2q} & /cdots & /cdots & a_{1n} b_{21} & a_{1n} b_{22} & /cdots & a_{1n} b_{2q} // /vdots & /vdots & /ddots & /vdots & & & /vdots & /vdots & /ddots & /vdots // a_{11} b_{p1} & a_{11} b_{p2} & /cdots & a_{11} b_{pq} & /cdots & /cdots & a_{1n} b_{p1} & a_{1n} b_{p2} & /cdots & a_{1n} b_{pq} // /vdots & /vdots & & /vdots & /ddots & & /vdots & /vdots & & /vdots // /vdots & /vdots & & /vdots & & /ddots & /vdots & /vdots & & /vdots // a_{m1} b_{11} & a_{m1} b_{12} & /cdots & a_{m1} b_{1q} & /cdots & /cdots & a_{mn} b_{11} & a_{mn} b_{12} & /cdots & a_{mn} b_{1q} // a_{m1} b_{21} & a_{m1} b_{22} & /cdots & a_{m1} b_{2q} & /cdots & /cdots & a_{mn} b_{21} & a_{mn} b_{22} & /cdots & a_{mn} b_{2q} // /vdots & /vdots & /ddots & /vdots & & & /vdots & /vdots & /ddots & /vdots // a_{m1} b_{p1} & a_{m1} b_{p2} & /cdots & a_{m1} b_{pq} & /cdots & /cdots & a_{mn} b_{p1} & a_{mn} b_{p2} & /cdots & a_{mn} b_{pq} /end{bmatrix}.

[编辑]例子

/begin{bmatrix} 1 & 2 // 3 & 1 // /end{bmatrix} /otimes /begin{bmatrix} 0 & 3 // 2 & 1 // /end{bmatrix} = /begin{bmatrix} 1/cdot 0 & 1/cdot 3 & 2/cdot 0 & 2/cdot 3 // 1/cdot 2 & 1/cdot 1 & 2/cdot 2 & 2/cdot 1 // 3/cdot 0 & 3/cdot 3 & 1/cdot 0 & 1/cdot 3 // 3/cdot 2 & 3/cdot 1 & 1/cdot 2 & 1/cdot 1 // /end{bmatrix} = /begin{bmatrix} 0 & 3 & 0 & 6 // 2 & 1 & 4 & 2 // 0 & 9 & 0 & 3 // 6 & 3 & 2 & 1 /end{bmatrix}.
/begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} // a_{21} & a_{22} // a_{31} & a_{32} /end{bmatrix} /otimes /begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} // b_{21} & b_{22} & b_{23} /end{bmatrix} = /begin{bmatrix} a_{11} b_{11} & a_{11} b_{12} & a_{11} b_{13} & a_{12} b_{11} & a_{12} b_{12} & a_{12} b_{13} // a_{11} b_{21} & a_{11} b_{22} & a_{11} b_{23} & a_{12} b_{21} & a_{12} b_{22} & a_{12} b_{23} // a_{21} b_{11} & a_{21} b_{12} & a_{21} b_{13} & a_{22} b_{11} & a_{22} b_{12} & a_{22} b_{13} // a_{21} b_{21} & a_{21} b_{22} & a_{21} b_{23} & a_{22} b_{21} & a_{22} b_{22} & a_{22} b_{23} // a_{31} b_{11} & a_{31} b_{12} & a_{31} b_{13} & a_{32} b_{11} & a_{32} b_{12} & a_{32} b_{13} // a_{31} b_{21} & a_{31} b_{22} & a_{31} b_{23} & a_{32} b_{21} & a_{32} b_{22} & a_{32} b_{23} /end{bmatrix}.

[编辑]特性

[编辑]双线性和结合律

克罗内克积是张量积的特殊形式，因此满足双线性与结合律：

A /otimes (B+C) = A /otimes B + A /otimes C /qquad /mbox{(if } B /mbox{ and } C /mbox{ have the same size)},
(A+B) /otimes C = A /otimes C + B /otimes C /qquad /mbox{(if } A /mbox{ and } B /mbox{ have the same size)},
(kA) /otimes B = A /otimes (kB) = k(A /otimes B),
(A /otimes B) /otimes C = A /otimes (B /otimes C),

其中，A, B 和 C 是矩阵，而 k 是常量。

克罗内克积不符合交换律：通常，A /otimes B 不同于 B /otimes A。

A /otimes B和B /otimes A是排列等价的，也就是说，存在排列矩阵P和Q，使得

A /otimes B = P /, (B /otimes A) /, Q.

如果A和B是方块矩阵，则A /otimes B和B /otimes A甚至是排列相似的，也就是说，我们可以取P = QT。

[编辑]混合乘积性质

如果A、B、C和D是四个矩阵，且矩阵乘积AC和BD存在，那么：

(/mathbf{A} /otimes /mathbf{B})(/mathbf{C} /otimes /mathbf{D}) = /mathbf{AC} /otimes /mathbf{BD}.

这个性质称为“混合乘积性质”，因为它混合了通常的矩阵乘积和克罗内克积。于是可以推出，A /,/otimes/, B是可逆的当且仅当A和B是可逆的，其逆矩阵为：

(/mathbf{A} /otimes /mathbf{B})^{-1} = /mathbf{A}^{-1} /otimes /mathbf{B}^{-1}.

[编辑]克罗内克和

如果A是n × n矩阵，B是m × m矩阵，/mathbf{I}_k表示k × k单位矩阵，那么我们可以定义克罗内克和/oplus为：

/mathbf{A} /oplus /mathbf{B} = /mathbf{A} /otimes /mathbf{I}_m + /mathbf{I}_n /otimes /mathbf{B}.


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