什么是克罗内克积（Kronecker积）？

最新推荐文章于 2025-06-02 09:24:06 发布

爱代码的小黄人

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Kronecker 积，也称为 克罗内克积，是矩阵代数中的一种特殊运算，它将两个矩阵组合成一个更大的矩阵。克罗内克积广泛应用于线性代数、量子计算、张量代数等领域。

定义

对于两个矩阵 $A$ 和 $B$ ，其中 $A$ 是 $\times n$ 维的矩阵， $B$ 是 $\times q$ 维的矩阵，它们的 克罗内克积 $\otimes B$ 是一个 $mp \times nq$ 维的大矩阵。

如果
$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$
是一个 $\times 2$ 矩阵，且
$\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}$
是一个 $\times 2$ 矩阵，那么 $\otimes B$ 是：
$\otimes B = \begin{pmatrix} a_{11} B & a_{12} B \\ a_{21} B & a_{22} B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} b_{11} & a_{11} b_{12} & a_{12} b_{11} & a_{12} b_{12} \\ a_{11} b_{21} & a_{11} b_{22} & a_{12} b_{21} & a_{12} b_{22} \\ a_{21} b_{11} & a_{21} b_{12} & a_{22} b_{11} & a_{22} b_{12} \\ a_{21} b_{21} & a_{21} b_{22} & a_{22} b_{21} & a_{22} b_{22} \end{pmatrix}$

解释

每个 $A$ 矩阵的元素都会乘以 $B$ 矩阵，生成一个对应大小的子矩阵，最后组合成一个更大的矩阵。
克罗内克积的结果维度是 $\times p) \times (n \times q)$ ，所以维度快速增加。

应用场景

量子计算：克罗内克积常用于描述多体量子态和量子操作的张量积形式。
信号处理：在图像和视频处理中，Kronecker 积用于构建滤波器和分析高维数据。
系统与控制理论：在多变量系统中，Kronecker 积用于描述系统间的交互。

代码示例

在 MATLAB 中，使用 kron 函数计算克罗内克积：

A = [1 2; 3 4];
B = [0 5; 6 7];
C = kron(A, B);