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最新推荐文章于 2020-05-22 17:32:02 发布

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#OI #树形dp #01分数规划 #二分 #JSOI

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树形动态规划

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树上DFS序

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本文介绍了一道关于树形DP的问题，通过01分数规划解决最大化问题。文章详细解析了算法思路，如何将问题转化为判定性问题并利用树形依赖进行DP优化，最终给出了时间复杂度为O(nKlog2(ns))的解决方案。

题目大意

一棵树，有 $n+1$ 个节点，根编号为 $0$ 。
每个非根节点都有两个权值 $s_i$ 和 $p_i$ ，父亲 $r_i$ 。
要求选择 $K+1$ 个节点，最大化

\sum p i \sum s i

$\sum p_i\over\sum s_i$
并且所选节点一定包括根，并且如果选择了节点

x(x≠0) $x(x\not=0)$ 那么

x $x$ 的父亲

ri $r_i$ 一定要选。

$1\le K\le n\le 2500,0<s_i,p_i\le 10^4,0\le r_i<i$

题目分析

看见最大化的分式，显然要使用 $01$ 分数规划。
二分答案转化为判定性问题，计算是否存在权值和小于零的选择方案。
由于这里有树形依赖关系，那我们需要用一个神奇的方法做树形 $dp$ 。
注意到 $x$ 的子树中任一节点能选择当且仅当 $x$ 被选择。
所以我们可以按照 $\mathrm{DFS}$ 序列来 $dp$ ，令 $f_{i,j}$ 表示待处理节点在 $\mathrm{DFS}$ 序中排名为 $i$ ，已经选择了 $j$ 个节点，令其节点编号为 $p$ 。
$\bullet$ 如果选择了 $p$ ，那么其子树就可以考虑，转移到 $f_{i+1,j+1}$
$\bullet$ 如果不选择 $p$ ，那么就要跳过其子树，转移到 $f_{i+size_p,j}$
这个 $dp$ 很巧妙，利用了树形依赖的性质。
时间复杂度 $\mathrm O(nKlog_2(ns))$ 。

代码实现

#include <iostream>
#include <climits>
#include <cfloat>
#include <cstdio>
#include <cctype>

using namespace std;

typedef double db;

int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while (!isdigit(ch)) f=(ch=='-')?-1:f,ch=getchar();
    while (isdigit(ch)) x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}

const db INF=DBL_MAX/3;
const db EPS=0.0001;
const int N=2550;
const int K=2550;

int fa[N],last[N],tov[N],next[N],s[N],p[N],size[N],id[N];
int n,k,tot,idx,sum;
db f[N][K],v[N];
db ans;

void insert(int x,int y)
{
    tov[++tot]=y,next[tot]=last[x],last[x]=tot;
}

void dfs(int x)
{
    size[id[++idx]=x]=1;
    for (int i=last[x],y;i;i=next[i])
        dfs(y=tov[i]),size[x]+=size[y];
}

bool check(db now)
{
    for (int i=2;i<=n+1;i++)
    {
        v[i]=s[id[i]]*now-p[id[i]];
        for (int j=0;j<=k;j++)
            f[i][j]=INF;
    }
    f[2][0]=0;
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
        for (int j=0;j<=k&&j<=i-2;j++)
        {
            if (f[i][j]<f[i+size[id[i]]][j]) f[i+size[id[i]]][j]=f[i][j];
            if (j<k&&f[i+1][j+1]>f[i][j]+v[i]) f[i+1][j+1]=f[i][j]+v[i];
        }
    }
    return f[n+1][k]>0;
}

double binary_search()
{
    db l=0,r=sum,mid,ret;
    while (l+EPS<r)
    {
        mid=(l+r)/2;
        if (check(mid)) r=mid;
        else ret=mid,l=mid;
    }
    return ret;
}

int main()
{
    freopen("team.in","r",stdin),freopen("team.out","w",stdout);
    k=read(),n=read();
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        s[i+1]=read(),sum+=(p[i+1]=read()),fa[i+1]=read();
        insert(++fa[i+1],i+1);
    }
    n++;
    dfs(1);
    ans=binary_search();
    printf("%.3lf\n",ans);
    fclose(stdin),fclose(stdout);
    return 0;
}