【JSOI 2016】最佳团体

本文介绍了一种在JSOI信息学代表队中选取最优团队成员的算法。考虑到候选人之间的推荐关系及各自的战斗值和招募费用,通过树上背包DP算法,在限定人数下找到性价比最高的团队配置。

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题目描述

JSOI 信息学代表队一共有 NNN 名候选人,这些候选人从 111NNN 编号。方便起见,JYY 的编号是 000 号。每个候选人都由一位编号比他小的候选人 RiR_iRi 推荐。如果 Ri=0R_i = 0Ri=0,则说明这个候选人是 JYY 自己看上的。
为了保证团队的和谐,JYY 需要保证,如果招募了候选人 iii,那么候选人 RiR_iRi 也一定需要在团队中。当然了,JYY 自己总是在团队里的。每一个候选人都有一个战斗值 PiP_iPi,也有一个招募费用 SiS_iSi。JYY 希望招募 KKK 个候选人(JYY 自己不算),组成一个性价比最高的团队。也就是,这 KKK 个被 JYY 选择的候选人的总战斗值与总招募费用的比值最大。
1≤K≤N≤25001\le K\le N\le 25001KN25000&lt;Si,Pi≤1040\lt S_i,P_i\le 10^40<Si,Pi1040≤Ri&lt;i0\le R_i\lt i0Ri<i

算法分析

首先二分答案,则所求变为判断是否存在一种选择方案满足 ∑p∑s≥ans\frac{\sum p}{\sum s}\ge ansspans,即是否存在 ∑p−ans×∑s≥0\sum p-ans\times\sum s\ge 0pans×s0
考虑树上背包DP,设 f[i][j]f[i][j]f[i][j] 表示在以 iii 为根的子树种选择 jjj 个候选人时 ∑p−ans×∑s\sum p-ans\times\sum spans×s 的最大值,转移时从大到小枚举以保证正确更新。
时间复杂度证明之类的待填坑。

代码实现

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
const int maxn=2505;
const double eps=1e-10;
int head[maxn],ev[maxn],nxt[maxn],idx=0;
inline void add(int u,int v) {ev[++idx]=v;nxt[idx]=head[u];head[u]=idx;}
int K,N,s[maxn],p[maxn],tot[maxn];double f[maxn][maxn],v[maxn];
void dfs(int x) {
	memset(f[x],0xc2,sizeof(f[x]));
	tot[x]=1;f[x][0]=0;f[x][1]=v[x];
	for(register int i=head[x];i;i=nxt[i]) {
		int v=ev[i];dfs(v);tot[x]+=tot[v];
		for(register int k=std::min(K+1,tot[x]);k>=1;--k) {
			int le=std::max(k-(tot[x]-tot[v]),0),ri=std::min(k-1,tot[v]);
			for(register int j=le;j<=ri;++j) f[x][k]=std::max(f[x][k],f[x][k-j]+f[v][j]);
		}
	}
}
int main() {
	scanf("%d%d",&K,&N);
	for(register int i=1;i<=N;++i) {
		int r;scanf("%d%d%d",&s[i],&p[i],&r);
		add(r,i);
	}
	double l=0,r=10000;
	for(register int t=1;t<=30;++t) {
		double mid=(l+r)/2;
		for(register int i=1;i<=N;++i) v[i]=p[i]-mid*s[i];
		dfs(0);(f[0][K+1]>=eps)?l=mid:r=mid;
	}
	printf("%.3lf\n",l);
	return 0;
}
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