[LNOI2014][BZOJ3626]LCA

题目大意

一棵有$n$个节点的树（根为$1$），令$deep(x)$表示点$x$的深度（到根距加$1$）。
有$q$个询问，形如$(l,r,z)$，查询

$$\sum_{x=l}^r deep(lca(x,z))$$
答案对$201314$取模。

$1\le n,q\le50000$

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题目分析

求区间和太麻烦，我们差分一下，变成求前缀和，那么每个询问就拆分成两个前缀和询问。
统计$lca$的深度和看起来还是很棘手，我们换个角度想：如果我们将$x$到根的路径上所有点权值都赋值为$1$，那么$y$到根的路径上的点权和显然就是它们$lca$的深度。
类似的，我们离线处理，将询问的$z$挂在节点$z$上，从$1$到$n$枚举节点，然后将枚举点到根路径所有点加上$1$，同时处理关于该点的询问，查询该点到根路径上的点权和，就能得到前缀和了。
使用树链剖分，在$\mathrm O(nlog_2^2n)$的时间复杂度解决。

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P.S.

根据Werkeytom_FTD的说法，强制在线的话可以使用可持久化线段树解决。

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代码实现

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cctype>

using namespace std;

int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while (!isdigit(ch)) f=(ch=='-')?-1:f,ch=getchar();
    while (isdigit(ch)) x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}

const int P=201314;
const int N=50500;
const int Q=50500;
const int A=Q<<1;

struct D
{
    int u,id;
    bool tp;

    D(int u0=0,int id0=0,bool tp0=0){u=u0,id=id0,tp=tp0;}
}aim[A];

struct segment_tree
{
    int sum[N<<2],tag[N<<2];

    void add(int x,int l,int r,int delta){(sum[x]+=1ll*(r-l+1)*delta%P)%=P,(tag[x]+=delta)%=P;}

    void clear(int x,int l,int r)
    {
        if (tag[x])
        {
            if (l!=r)
            {
                int mid=l+r>>1;
                add(x<<1,l,mid,tag[x]),add(x<<1|1,mid+1,r,tag[x]);
            }
            tag[x]=0;
        }
    }

    void modify(int x,int st,int en,int l,int r,int delta)
    {
        clear(x,l,r);
        if (st==l&&en==r)
        {
            add(x,l,r,delta);
            clear(x,l,r);
            return;
        }
        int mid=l+r>>1;
        if (en<=mid) modify(x<<1,st,en,l,mid,delta);
        else if (mid+1<=st) modify(x<<1|1,st,en,mid+1,r,delta);
        else modify(x<<1,st,mid,l,mid,delta),modify(x<<1|1,mid+1,en,mid+1,r,delta);
        sum[x]=(sum[x<<1]+sum[x<<1|1])%P;
    }

    int query(int x,int st,int en,int l,int r)
    {
        clear(x,l,r);
        if (st==l&&en==r) return sum[x];
        int mid=l+r>>1;
        if (en<=mid) return query(x<<1,st,en,l,mid);
        else if (mid+1<=st) return query(x<<1|1,st,en,mid+1,r);
        else return (query(x<<1,st,mid,l,mid)+query(x<<1|1,mid+1,en,mid+1,r))%P;
    }
}t;

int last[N],tov[N],next[N],DFN[N],fa[N],orig[N],hea[N],size[N],head[N];
int n,q,tot,cnt,idx;
int nxt[A];
int ans[Q];

void insert(int x,int y)
{
    tov[++tot]=y,next[tot]=last[x],last[x]=tot;
}

void hang(int x,D y)
{
    aim[++cnt]=y,nxt[cnt]=head[x],head[x]=cnt;
}

void dfs(int x)
{
    size[x]=1;
    for (int i=last[x],y;i;i=next[i])
        dfs(y=tov[i]),size[x]+=size[y];
}

void build(int x,int og)
{
    DFN[x]=++idx,orig[x]=og;
    for (int i=last[x];i;i=next[i])
        if (!hea[x]||size[hea[x]]<size[tov[i]])
            hea[x]=tov[i];
    if (!hea[x]) return;
    build(hea[x],og);
    for (int i=last[x];i;i=next[i])
        if (tov[i]!=hea[x]) build(tov[i],tov[i]);
}

void fillpath(int x)
{
    for (int y=orig[x];x;y=orig[x=fa[y]])
        t.modify(1,DFN[y],DFN[x],1,idx,1);
}

int sumpath(int x)
{
    int ret=0;
    for (int y=orig[x];x;y=orig[x=fa[y]])
        (ret+=t.query(1,DFN[y],DFN[x],1,idx))%=P;
    return ret;
}

void calc(int x)
{
    for (int i=head[x];i;i=nxt[i])
    {
        D qy=aim[i];
        (((ans[qy.id]+=(qy.tp?1:-1)*sumpath(qy.u))%=P)+=P)%=P;
    }
}

int main()
{
    freopen("lca.in","r",stdin),freopen("lca.out","w",stdout);
    n=read(),q=read();
    for (int i=2;i<=n;i++) fa[i]=read()+1,insert(fa[i],i);
    dfs(1),build(1,1);
    for (int i=1,l,r,z;i<=q;i++)
    {
        l=read()+1,r=read()+1,z=read()+1;
        if (l-1) hang(l-1,D(z,i,0));
        hang(r,D(z,i,1));
    }
    for (int i=1;i<=n;i++) fillpath(i),calc(i);
    for (int i=1;i<=q;i++) printf("%d\n",ans[i]);
    fclose(stdin),fclose(stdout);
    return 0;
}