56、最小成本源位置问题的近似算法研究

最小成本源位置问题的近似算法研究

1. 有界 d∗ 的 ˆκ - SLP 问题结果

在解决源位置问题时，对于有界 $d^ $ 的 ˆκ - SLP 问题，不同成本情况下有多种算法和近似结果，如下表所示：
|成本类型|算法结果|
| ---- | ---- |
|统一成本|线性时间精确算法 ($d^ ≤ 3$) |
|一般成本|精确算法 ($d^ ≤ 3$)；APX - 硬度 ($d^ = 4$)；$O(d^ \log d^ )$ - 近似算法；3 - 近似算法 ($d^ ≤ 4$)；$\max{d^ , 2d^* - 6}$ - 近似算法|

同时，还引入了新的顶点连通性度量 ˜κ 和源位置问题的新公式。对于 $x: V → Z^+$，定义节点连通性 ˜κ(x, v) 为 $x(v) + ˆκ(S_x \ v, v)$，当 ˜κ(x, v) 不小于每个 $v ∈ V$ 的需求时，$x$ 是一个源集。并且假设为每个顶点 $v ∈ V$ 给定一个非递减凸函数 $c_v$，$x$ 的成本定义为 $\sum_{v∈V} c_v(x(v))$。这个新问题既包含在 ˆκ - SLP 中，图的大小取决于总需求，同时也是具有根顶点连通性需求的可生存网络设计问题的一个特殊情况。

2. ˆκ - SLP 的 $O(d^ \log d^ )$ 近似算法

在讨论 ˆκ - SLP 时，对于 $X ⊆ V$，定义 $d^*(X)$ 为 $\max_{v∈X} d(v)$，$N(X)$ 为 $X$ 的邻居集，$|N(X)|$ 简记为 $n