56、近似最小成本源定位问题的算法研究

近似最小成本源定位问题的算法研究

1. 有界 d∗ 的 ˆκ - SLP 问题结果

成本类型	算法结果
统一成本	线性时间精确算法 (d∗ ≤ 3) APX - 难问题 (d∗ = 4) O(d∗log d∗) - 近似算法
一般成本	精确算法 (d∗ ≤ 3) 3 - 近似算法 (d∗ ≤ 4) max{d∗, 2d∗ − 6} - 近似算法

这里引入了新的顶点连通性测量 ˜κ 和源定位问题的新表述。对于 x : V → Z+，定义节点连通性 ˜κ(x, v) 为 x(v) + ˆκ(Sx \ v, v)，当 ˜κ(x, v) 不小于每个 v ∈ V 的需求时，x 是一个源集。假设为每个顶点 v ∈ V 给定一个非递减凸函数 cv，x 的成本定义为 $\sum_{v∈V} c_v(x(v))$。

这个新问题包含在 ˆκ - SLP 中，其图的大小取决于总需求。同时，它也是具有根顶点连通性需求的可生存网络设计问题的一个特殊情况。

2. ˆκ - SLP 的 O(d∗log d∗) - 近似算法

对于 X ⊆ V，定义 d∗(X) 为 $\max_{v∈X} d(v)$，N(X) 为 X 的邻居集，|N(X)| 简记为 n(X)。函数 n 满足以下两个不等