13、量子近似优化算法（QAOA）详解

量子近似优化算法（QAOA）详解

1. 引言

量子近似优化算法（QAOA）是一种优化算法，它借鉴了绝热量子计算（AQC）和变分量子特征求解器（VQE）两种优化算法的思想。从AQC中，它借用了通过将目标函数编码到问题哈密顿量中，然后演化系统，使最终哈密顿量的基态提供所需解（以位串格式）的概念；从VQE中，它借用了应用于参数化量子电路的变分原理。简单来说，QAOA是一种门模型版本的优化求解器，原本可以用模拟AQC方法解决的问题也可以用它来处理，也可以看作是具有哈密顿量形式约束的VQE的特殊情况。

QAOA在金融领域有许多应用测试，如投资组合再平衡实验、使用条件风险价值（CVaR）作为QAOA目标函数等，具有很大的潜力，有望成为量子计算在金融应用中的标准工具。

2. 时间演化

量子力学系统的动力学由薛定谔方程描述：
[i\hbar\frac{d|\psi(t)\rangle}{dt} = H|\psi(t)\rangle]
其中，(|\psi(t)\rangle) 是时间 (t) 时的量子态，(H) 是与时间无关的哈密顿量，初始条件为 (|\psi(0)\rangle)。其解为：
[|\psi(t)\rangle = U(0, t)|\psi(0)\rangle]
其中，(U(0, t) = \exp\left(-\frac{iHt}{\hbar}\right))。当我们将 (\hbar) 设为 1 时，系统动力学可表示为：
[|\psi(t)\rangle = e^{-iHt}|\psi(0)\rangle]
如果已知系统的初始状态 (|\psi(0)\rangle)，那么在时间 (t) 时的系统状态也可以通过哈密顿量 (H) 在时间段 (t) 内的作用来确定。

然而，上述解假设系统哈密顿量是与时间无关的。而AQC使用的是与时间有关的哈密顿量：
[H(t) = \left(1 - \frac{t}{T}\right)H_0 + \frac{t}{T}H_F]
其中，(H_0) 是初始哈密顿量，(H_F) 是最终或问题哈密顿量（编码优化问题）。为了调和这种不匹配，我们可以用一系列与时间无关的哈密顿量 (H_1, H_2, \cdots, H_m) 来近似与时间有关的哈密顿量 (H(t))，这些哈密顿量在相应的较短时间间隔 ([t_0 = 0, t_1], [t_1, t_2], \cdots, [t_{m - 1}, t_m = T]) 内变换状态。就像用分段线性函数近似连续函数一样，时间间隔越细，近似效果越好。

相应地，算子 (U(0, T)) 可以近似为：
[U(0, T) \approx U(t_{m - 1}, t_m)U(t_{m - 2}, t_{m - 1}) \cdots U(t_2, t_1)U(t_0, t_1)]
(n) 值越大，近似效果越好。这表明量子力学系统在长时间间隔内的演化可以建模为一系列与时间无关的哈密顿量在相应较短时间间隔内对系统状态的变换。

3. 铃木 - 特罗特展开

铃木 - 特罗特展开可以得到 (U(0, T)) 的一个特别有用的近似。如果 (A_1, A_2, \cdots, A_k) 是不一定对易的算子，那么：
[\exp(A_1 + A_2 + \cdots + A_k) = \lim_{m \to \infty} \left[\exp\left(\frac{A_1}{m}\right)\exp\left(\frac{A_2}{m}\right) \cdots \exp\left(\frac{A_k}{m}\right)\right]^m]
两个算子 (A) 和 (B) 对易的条件是 (AB = BA)，许多在前面章节中引入的算子是不对易的，例如绕不同轴的旋转，最终的量子态取决于旋转的顺序。

如果 (U(0, T)) 具有 (\exp([A + B]T)) 的形式，那么可以使用铃木 - 特罗特展开得到：
[\exp([A + B]T) = \lim_{m \to \infty} \left[\exp\left(\frac{AT}{m}\right)\exp\left(\frac{BT}{m}\right)\right]^m]
即 ([A + B]T) 的时间演化可以通过在长度为 (T/m) 的时间间隔内交替应用 (A) 和 (B) 来近似。

在AQC中，哈密顿量 (H_0) 和 (H_F) 具有一般形式：
[H_0 = \sum_{i = 1}^{n} \sigma_i^x]
[H_F = \sum_{i = 1}^{n} a_i\sigma_i^z + \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = i + 1}^{n} b_{ij}\sigma_i^z\sigma_j^z]
其中，(H_0) 是混合哈密顿量 (A)，(H_F) 是相位哈密顿量 (B)。初始状态设置为所有可能解的等叠加态：
[|\psi(0)\rangle = \frac{1}{\sqrt{2^n}} \left(|0 \cdots 00\rangle + |0 \cdots 01\rangle + \cdots + |1 \cdots 11\rangle\right) = \frac{1}{\sqrt{2^n}} \sum_{i = 0}^{2^n - 1} |i\rangle]
可以通过对每个量子比特应用哈达玛门 (H) 从 (|0\rangle^{\otimes n}) 轻松构建，即 (|\psi(0)\rangle = H^{\otimes n}|0\rangle^{\otimes n})。

4. 算法规范

QAOA算法步骤如下：
1. 创建参数化量子态 ：
输入 (A) 和 (B)，通过交替应用算子 (A) 和 (B) (m) 轮，创建参数化量子态 (|\psi(\beta, \gamma)\rangle)，其中 (\beta = (\beta_1, \cdots, \beta_m))，(\gamma = (\gamma_1, \cdots, \gamma_m))，每一轮的持续时间由参数 (\beta_i) 和 (\gamma_i) 分别指定：
[|\psi(\beta, \gamma)\rangle = e^{-i\beta_mA}e^{-i\gamma_mB} \cdots e^{-i\beta_2A}e^{-i\gamma_2B}e^{-i\beta_1A}e^{-i\gamma_1B}(H^{\otimes n}|0\rangle^{\otimes n})]
2. 进行测量 ：
对得到的状态进行计算基（z - 基）测量，返回一个候选解。重复上述状态制备和测量过程，成本函数 (f) 在返回的解样本上的期望值为：
[\langle f\rangle = \langle\psi(\beta, \gamma)| B |\psi(\beta, \gamma)\rangle]
可以从产生的样本中进行统计估计。
3. 更新参数并重复 ：
在经典优化循环中，使用更新后的时间参数集 (\beta) 和 (\gamma) 重复上述步骤，目标是最小化成本函数的期望值 (\langle f\rangle)。

最终，算法返回找到的最佳解。

需要注意的是，交替应用算子 (\exp(-i\beta A)) 和 (\exp(-i\gamma B)) 很重要，以确保不会陷入局部最小值，并且 (A) 和 (B) 不对易也很重要。因为如果只应用 (\exp(-i\gamma B))，可能会陷入相位哈密顿量的本征态；如果 (A) 和 (B) 对易，也可能会陷入它们的共同本征态。而由于 (\sigma_x) 和 (\sigma_z) 不对易，所以总有机会逃离局部最小值。

5. 最大割问题

最大割问题是图划分问题的一个特殊情况，目标是将图的顶点分成两组，使得两组之间的边的数量（如果所有边权重相同）或这些边的总权重（如果边权重不同）最大化。

每条边的成本 (c_{ij}) 为：
[c_{ij} = \frac{1}{2}w_{ij}(1 - s_is_j)]
其中，(s_i) 和 (s_j) 是经典自旋变量，取值为 ({-1, +1})，(w_{ij}) 是连接顶点 (i) 和 (j) 的边的权重。当 (s_i) 和 (s_j) 同号时，成本 (c_{ij}) 为 0；当 (s_i) 和 (s_j) 异号时，成本 (c_{ij}) 等于权重 (w_{ij})。

整个图的成本函数为：
[L(s) = \sum_{{ij} \in G} \frac{1}{2}w_{ij}(1 - s_is_j)]
其中，(s = (s_1, \cdots, s_n)) 是与 (n) 节点图 (G) 相关的决策变量集，求和遍历图中所有由边连接的节点对。

最大割问题在金融领域有许多应用，如客户聚类、客户细分和投资组合优化等。

6. QAOA门

对应于成本函数的混合哈密顿量 (A) 和相位哈密顿量 (B) 分别为：
[A = \sum_{i = 1}^{n} \sigma_i^x]
[B = \sum_{{ij} \in G} \frac{1}{2}w_{ij}(1 - \sigma_i^z\sigma_j^z)]
需要找到算子 (\exp(-i\beta\sigma_i^x)) 和 (\exp\left(-\frac{1}{2}i\gamma\sigma_i^z\sigma_j^z\right)) 的量子门表示。

对于任意幺正厄米算子 (H) 和任意 (\theta \in R)，有：
[R_{\theta}(H) \equiv \exp\left(-\frac{1}{2}i\theta H\right) = \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)I - i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)H]
利用此公式，可以得到：
[\exp(-i\beta\sigma_x) = \cos(\beta)I - i\sin(\beta)X = \begin{bmatrix} \cos(\beta) & -i\sin(\beta) \ -i\sin(\beta) & \cos(\beta) \end{bmatrix}]
因为 (R_X(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) & -i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \ -i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) & \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \end{bmatrix})，所以 (\exp(-i\beta\sigma_x) = R_X(2\beta))，即算子 (\exp(-i\beta\sigma_i^x)) 应在电路中由放置在量子寄存器 (i) 上的门 (R_X(2\beta)) 表示。

对于 (\exp\left(-\frac{1}{2}i\gamma\sigma_z\sigma_z\right))，可以表示为以下电路：

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
    q1([q1]):::startend --> RZ1(RZ(γ)):::process
    q2([q2]):::startend --> RZ2(RZ(-2γ)):::process --> RZ3(RZ(γ)):::process

证明过程如下：
已知 (R_Z(\gamma) = \begin{bmatrix} e^{-i\gamma/2} & 0 \ 0 & e^{i\gamma/2} \end{bmatrix} = e^{-i\gamma/2} \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & e^{i\gamma} \end{bmatrix})，忽略不可观测的全局相位 (\exp\left(-\frac{1}{2}i\gamma\right))。
(R_Z(\gamma) \otimes R_Z(\gamma) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & e^{i\gamma} \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & e^{i\gamma} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & e^{i\gamma} & 0 & 0 \ 0 & 0 & e^{i\gamma} & 0 \ 0 & 0 & 0 & e^{2i\gamma} \end{bmatrix})
(CR_Z(-2\gamma) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & e^{-2i\gamma} \end{bmatrix})
整个电路的矩阵表示为：
(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & e^{i\gamma} & 0 & 0 \ 0 & 0 & e^{i\gamma} & 0 \ 0 & 0 & 0 & e^{2i\gamma} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & e^{-2i\gamma} \end{bmatrix} = e^{i\gamma/2} \begin{bmatrix} e^{-i\gamma/2} & 0 & 0 & 0 \ 0 & e^{i\gamma/2} & 0 & 0 \ 0 & 0 & e^{i\gamma/2} & 0 \ 0 & 0 & 0 & e^{-i\gamma/2} \end{bmatrix})
忽略全局相位后，与 (\exp\left(-\frac{1}{2}i\gamma\sigma_z\sigma_z\right)) 的矩阵表达式相同。

7. QAOA电路

由于现有量子处理器的量子比特连接性有限，需要使用特定的嵌入方案将最大割图映射到QPU图上，最简单的情况是图节点和连接边的一对一映射。

例如，在Rigetti的Aspen系统中实现的一个由八个节点和八条边组成的图，对应的QAOA电路如下：

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
    classDef measure fill:#FFF6CC,stroke:#FFBC52,stroke-width:2px;
    q1([|0⟩]):::startend --> H1(H):::process --> RZ11(RZ(-2γ)):::process --> RZ12(RZ(γ)):::process --> RZ13(RZ(γ)):::process --> RZ14(RZ(-2γ)):::process --> RZ15(RZ(γ)):::process --> RZ16(RZ(γ)):::process --> RX1(RX(2β)):::process --> M1([0M 0]):::measure
    q2([|0⟩]):::startend --> H2(H):::process --> RZ21(RZ(-2γ)):::process --> RZ22(RZ(γ)):::process --> RZ23(RZ(γ)):::process --> RZ24(RZ(-2γ)):::process --> RZ25(RZ(γ)):::process --> RZ26(RZ(γ)):::process --> RX2(RX(2β)):::process --> M2([0M 0]):::measure
    q3([|0⟩]):::startend --> H3(H):::process --> RZ31(RZ(-2γ)):::process --> RZ32(RZ(γ)):::process --> RZ33(RZ(γ)):::process --> RZ34(RZ(-2γ)):::process --> RZ35(RZ(γ)):::process --> RZ36(RZ(γ)):::process --> RX3(RX(2β)):::process --> M3([0M 0]):::measure
    q4([|0⟩]):::startend --> H4(H):::process --> RZ41(RZ(-2γ)):::process --> RZ42(RZ(γ)):::process --> RZ43(RZ(γ)):::process --> RZ44(RZ(-2γ)):::process --> RZ45(RZ(γ)):::process --> RZ46(RZ(γ)):::process --> RX4(RX(2β)):::process --> M4([0M 0]):::measure
    q5([|0⟩]):::startend --> H5(H):::process --> RZ51(RZ(-2γ)):::process --> RZ52(RZ(γ)):::process --> RZ53(RZ(γ)):::process --> RZ54(RZ(-2γ)):::process --> RZ55(RZ(γ)):::process --> RZ56(RZ(γ)):::process --> RX5(RX(2β)):::process --> M5([0M 0]):::measure
    q6([|0⟩]):::startend --> H6(H):::process --> RZ61(RZ(-2γ)):::process --> RZ62(RZ(γ)):::process --> RZ63(RZ(γ)):::process --> RZ64(RZ(-2γ)):::process --> RZ65(RZ(γ)):::process --> RZ66(RZ(γ)):::process --> RX6(RX(2β)):::process --> M6([0M 0]):::measure
    q7([|0⟩]):::startend --> H7(H):::process --> RZ71(RZ(-2γ)):::process --> RZ72(RZ(γ)):::process --> RZ73(RZ(γ)):::process --> RZ74(RZ(-2γ)):::process --> RZ75(RZ(γ)):::process --> RZ76(RZ(γ)):::process --> RX7(RX(2β)):::process --> M7([0M 0]):::measure
    q8([|0⟩]):::startend --> H8(H):::process --> RZ81(RZ(-2γ)):::process --> RZ82(RZ(γ)):::process --> RZ83(RZ(γ)):::process --> RZ84(RZ(-2γ)):::process --> RZ85(RZ(γ)):::process --> RZ86(RZ(γ)):::process --> RX8(RX(2β)):::process --> M8([0M 0]):::measure

该电路由四层组成：
1. 哈达玛门层 ：创建状态 (|0\rangle) 和 (|1\rangle) 的等叠加态，将基态 (|0\rangle) 转换为基态 (|+\rangle)。
2. 相位哈密顿量层 ：由可调参数 (\gamma) 控制。
3. 混合哈密顿量层 ：由可调参数 (\beta) 控制。
4. 测量层 ：进行测量操作。
第二和第三层可以使用不同的参数值 (\gamma) 和 (\beta) 多次应用。

当所有边的权重相等（(w_{ij} = 1)）时，使用Qiskit量子模拟器找到的最优解为比特串 10011001，将图节点分为两组。在边权重不等的情况下，电路布局保持不变，但可调门参数会反映分配给不同边的权重的相对大小。

综上所述，QAOA可以成功解决QUBO形式的NP - 难组合优化问题，在金融等领域具有广泛的应用前景。

量子近似优化算法（QAOA）详解

8. QAOA解决最大割问题的优势与挑战

• 优势
  • 量子加速潜力 ：QAOA作为一种量子算法，理论上具有比经典算法更快解决某些问题的潜力。在处理大规模的最大割问题时，随着问题规模的增大，经典算法的计算复杂度可能呈指数级增长，而QAOA有望通过量子特性实现多项式级甚至更优的复杂度，从而显著缩短计算时间。
  • 灵活性 ：QAOA可以通过调整参数 (\beta) 和 (\gamma) 来适应不同的问题实例。对于不同的图结构和边权重分布，只需要重新优化这些参数，就可以应用于新的最大割问题，具有很强的通用性。
• 挑战
  • 参数优化困难 ：QAOA的性能高度依赖于参数 (\beta) 和 (\gamma) 的选择。然而，参数空间通常非常大，找到最优参数组合是一个具有挑战性的任务。目前，常用的优化方法如经典的优化算法（如梯度下降法）在高维参数空间中容易陷入局部最优解，导致算法无法达到全局最优性能。
  • 量子噪声影响 ：实际的量子硬件存在噪声和误差，这会对QAOA的计算结果产生负面影响。量子比特的退相干、门操作的不精确性等因素可能导致量子态的失真，使得算法的输出结果偏离真实的最优解。为了克服这些问题，需要采用量子纠错和容错技术，但这些技术目前还面临着实现成本高、资源消耗大等问题。

9. QAOA与其他算法的比较

算法	原理	优势	劣势
QAOA	结合绝热演化和变分原理，通过交替应用混合哈密顿量和相位哈密顿量来寻找最优解	具有量子加速潜力，适用于多种优化问题	参数优化困难，受量子噪声影响大
AQC（绝热量子计算）	通过缓慢改变哈密顿量，使系统始终处于基态，从而得到问题的解	原理简单，适用于解决优化问题	演化时间长，对硬件要求高
VQE（变分量子特征求解器）	利用变分原理，通过优化参数化量子电路来近似求解哈密顿量的基态能量	对硬件要求相对较低，可扩展性好	收敛速度慢，结果精度受参数优化影响

10. QAOA的未来发展方向

• 参数优化方法改进 ：研究更高效的参数优化算法是提高QAOA性能的关键。可以探索基于机器学习的优化方法，如强化学习、遗传算法等，利用其强大的搜索能力在高维参数空间中找到更优的参数组合。此外，开发自适应的参数调整策略，根据问题的特性和算法的运行情况动态调整参数，也有望提高算法的性能。
• 量子硬件提升 ：随着量子技术的不断发展，量子硬件的性能将不断提高。更高质量的量子比特、更低的噪声水平和更长的相干时间将有助于减少量子噪声对QAOA的影响，提高算法的可靠性和精度。同时，开发更高效的量子门操作和量子电路设计方法，也将进一步提升QAOA的计算效率。
• 应用领域拓展 ：除了金融领域的客户聚类、投资组合优化等应用，QAOA还可以应用于其他领域，如物流调度、机器学习中的特征选择等。通过将QAOA与其他领域的问题相结合，可以进一步挖掘其潜力，为解决实际问题提供新的思路和方法。

11. 总结

QAOA是一种基于量子力学原理的优化算法，它结合了绝热演化和变分原理的思想，为解决NP - 难组合优化问题提供了一种新的途径。通过铃木 - 特罗特展开，QAOA可以将时间演化问题近似为一系列简单的操作，从而在量子电路中实现。

在最大割问题的应用中，QAOA通过交替应用混合哈密顿量和相位哈密顿量，不断调整量子态，最终找到最优的图划分方案。虽然QAOA在理论上具有很大的潜力，但在实际应用中还面临着参数优化困难、量子噪声影响等挑战。

未来，随着量子硬件的发展和优化算法的改进，QAOA有望在更多领域得到应用，并为解决复杂的优化问题提供更高效的解决方案。同时，对QAOA的研究也将推动量子计算技术的不断进步，促进量子计算在实际应用中的落地。

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
    A([开始]):::startend --> B(选择问题实例):::process
    B --> C(初始化参数β和γ):::process
    C --> D(创建参数化量子态):::process
    D --> E(进行测量):::process
    E --> F(计算成本函数期望值):::process
    F --> G{是否达到收敛条件}:::process
    G -- 否 --> H(更新参数β和γ):::process
    H --> D
    G -- 是 --> I(输出最优解):::process
    I --> J([结束]):::startend

以上流程图展示了QAOA算法解决优化问题的基本流程，从问题选择开始，经过参数初始化、量子态制备、测量、成本函数计算和参数更新等步骤，直到满足收敛条件，最终输出最优解。