3、动态距离函数下的设施选址及相关问题研究

动态距离函数下的设施选址及相关问题研究

在许多实际场景中，如交通规划、资源分配等，我们常常会遇到各种优化问题。本文将深入探讨动态距离函数下的设施选址问题，以及与之相关的装箱问题和矩阵分块问题。

1. 动态距离函数下的K - 中心问题

在设施选址中，K - 中心问题是一个经典问题。在动态距离函数的场景下，我们主要关注距离随时间变化的情况。

1.1 基本概念

• 近似算法 ：对于最小化问题，一个近似因子为ρ的近似算法是指在多项式时间内，能保证得到的解的成本最多为最优解的ρ倍。
• K - 中心问题的推广 ：包括节点有放置中心的成本、节点有权重等情况。例如，当每个节点v有放置中心的成本c(v)，且预算有限为K时，目标是找到一个子集S ⊆ V，使得c(S) ≤ K，同时最小化(\max_{u\in V}\min_{v\in S} d(u, v))。当每个节点v有权重w(v)时，目标是找到一个大小最多为K的子集S，最小化(\max_{u\in V}\min_{v\in S} w(u)d(u, v))。
• 动态距离函数 ：假设(d_t(u, v))是时间t时从u到v的距离，我们的目标函数（基本K - 中心问题）是(\min_{S\subseteq V, |S|\leq K}\max_{u\in V}\max_{t}\min_{v\in S} d_t(u, v))。
• 时间槽和交通负载因子 ：时间槽是指所有边长度不变的时间段，假设时间可分为T个时间