7、动态距离函数下的设施选址问题研究

动态距离函数下的设施选址问题研究

1. 引言

在设施选址问题的研究中，以往的理论工作通常假设网络中的边长度（或距离）是静态的，不随时间变化。然而在实际情况中，边长度并非静态。例如，在紧急设施（如医院）选址时，运输时间可能是当前交通负荷的函数；在网络中定位信息中心时也存在同样的情况。

本文定义了动态距离函数模型，并在这个通用模型下研究了基本的 K - 中心问题的近似算法。虽然实际中边长度的变化可能难以预测，但我们通常能从宏观层面估计其随时间的变化情况。例如，城市中的运输时间可能在一天内周期性波动。我们的目标是选择设施的位置，使得在所有可能的时间内，每个节点到最近设施的距离最小。

动态边长度模型是研究许多基本网络问题更现实的模型。本文开启了对设施选址问题的这一研究，同时也留下了许多其他待研究的问题。例如，寻找网络中最大权重随时间最小的生成树问题，Ravi 和 Goemans 在双准则近似的背景下研究了这个问题，当只有两个“时间段”时，他们的结果暗示了一个 1 + ϵ 的近似解。类似的双准则近似结果在最短路径问题中也有。但一些其他基本问题，如寻找最大权重随时间最小的匹配问题，仍完全未被解决。

2. K - 中心问题

基本的 K - 中心问题是一个基本的设施选址问题，定义如下：给定一个无向边加权图 $G = (V, E)$，找到一个大小至多为 $K$ 的顶点子集 $S \subseteq V$，使得 $V$ 中的每个顶点都“接近” $S$ 中的某个顶点。更正式地，目标函数定义为：
$\min_{S\subseteq V, |S|\leq K} \max_{u\in V} \min_{v\in S} d(u, v)$
其中 $