【算法学习】——设施选址问题（动态规划）

题目描述

在一条高速公路附近有 V 个村庄，选择 P 个村庄在其附近建立邮局，要求每个村庄到最近的邮局的距离和最小(1<=V<=300，1<=P<=30)。

问题分析

这个问题是一个经典的设施选址问题（Facility Location Problem），具体来说是一个P-中位问题（P-Median Problem）。

为什么是中位问题？还加上个 P?

我们知道——一系列有序排列的数到其中位数的距离最小。所以，我们将问题简化一下，将这V个村庄的沿着高速公路从左往右依次列开，序号分别记为[1…i]（1<= i <= V），那么现在想要在这 V 个村庄选择其中1个村庄建设邮局，使其他村庄到邮局的总距离最小，那么这个邮局的位置必定是沿着高速公路上坐标上的第中位数个（即第 $(V+1)/2$个），即问题就变成了求一个区间的中位数问题了，故称 中位问题。

那 P 的意思就自然可以理解了，就是现在问题不只是要求一个中位数，而是求 P 个。当然一列数只有一个中位数，这里的 P 个中位数的具体意义是将原本的一系列数进行分段，然后分别求出 P 个中位数，那么每一段到这个中位数点的距离都最小，P个邮局的地址就求出来了。

问题的简单示例

让我们用一个更直观的方式来理解这个问题。

想象一下你正在玩一个小游戏：在一条笔直的马路边上，有一些村庄，你需要决定在哪里建造邮局，让所有村民去邮局的路程总和最短。

让我们通过一个具体的例子来理解：

假设我们有5个村庄，它们在马路边的位置分别是：1公里、2公里、3公里、4公里和10公里处，我们需要建造2个邮局。

首先，我们要理解动态规划的思路：

1. 如果只建一个邮局 当我们只需要建一个邮局时，最优的位置是在这些村庄的"中间位置"。这里的"中间位置"不是指距离的中间，而是指排序后的中间编号的村庄位置。比如对于村庄{1,2,3}，最优位置就是在2公里处。
2. 如果要建两个邮局 我们可以把村庄分成两组：一组村庄由第一个邮局服务，另一组由第二个邮局服务。关键是找到最佳的分组方式。

让我用简单的代码来说明这个思路：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

// 这个函数计算在一段区间内放置一个邮局的最小距离和
int calculateOnePostOfficeCost(vector<int>& villages, int start, int end) {
   
    // 最优的邮局位置应该在中间的村庄
    int postOfficePos = villages[(start + end) / 2];
    int totalDistance = 0;
    
    // 计算这个区间内所有村庄到邮局的距离之和
    for (int i = start; i <= end; i++) {
   
        totalDistance += abs(villages[i] - postOfficePos);
    }
    
    return totalDistance;
}

// 主函数：解决P个邮局的放置问题
int solvePostOffice(vector<int>& villages, int P) {
   
    int V = villages.size();
    
    // dp[i][j]: 前i个村庄放置j个邮局的最小距离和
    vector<vector<int>> dp(V + 1, vector<int>(P + 1, INT_MAX));
    dp[0][0] = 0;  // 初始状态：0个村庄0个邮局，距离和为0