26、椭圆曲线中的复乘法、除子及相关数值计算

椭圆曲线中的复乘法、除子及相关数值计算

1. 复乘法与代数整数

在复乘法相关内容中，对于一些整数 (t, u, v, w)，通过特定方程相除得到 (\tau = \frac{t\tau + u}{v\tau + w})。由相关方程推导得出 (n\sqrt{-d}) 是 (X^2 - (t + w)X + (tw - uv)) 和 (X^2 + n^2d) 的根。若这两个多项式不同，相减会得出 (n\sqrt{-d}) 是次数至多为 1 且系数为整数的多项式的根，这是不可能的，所以两个多项式相同，进而得到 (\det\begin{pmatrix}t & u \ v & w\end{pmatrix} = tw - uv = n^2d)。

根据引理可知，存在 (M \in SL_2(\mathbb{Z})) 和 (S_1 \in S_{n^2d}) 使得 (\begin{pmatrix}t & u \ v & w\end{pmatrix} = MS_1)，由此可得 (j(\tau) = j(S_1\tau))，从而 (H_{n^2d}(j(\tau)) = 0)。

当 (d \neq 1) 时，因为 (n^2d) 不是平方数，定理表明 (H_{n^2d}(X)) 的最高系数为 (\pm1)，所以 (j(\tau)) 是首一多项式且系数为整数的根，即 (j(L) = j(\tau)) 是代数整数。当 (d = 1) 时，将 (\sqrt{-d}) 替换为 (1 + i)，经过类似推导也可得出 (j(\tau)) 是代数整数。

2. 数值示例

2.1 计算 (j) - 不变量

假设要计算 (