11、有限域上的超奇异椭圆曲线

有限域上的超奇异椭圆曲线

1. 超奇异曲线的定义与基本性质

在特征为 $p$ 的情况下，若椭圆曲线 $E$ 满足 $E[p] = {\infty}$，即便是在代数闭域中，也不存在阶为 $p$ 的点，那么该椭圆曲线 $E$ 被称为超奇异曲线。需要注意的是，超奇异曲线并非第 2.4 节所定义的奇异曲线。经典意义上，“奇异”用于描述自同态环大于 $\mathbb{Z}$ 的椭圆曲线的 $j$-不变量，这些环通常是有理数域的二次扩张的子环；而“超奇异”则指的是自同态环更大（即四元数代数的子环）的曲线的 $j$-不变量。

1.1 判断椭圆曲线是否为超奇异曲线的命题

设 $E$ 是有限域 $\mathbb{F}_q$（其中 $q$ 是素数 $p$ 的幂）上的椭圆曲线，令 $a = q + 1 - #E(\mathbb{F}_q)$，则 $E$ 是超奇异曲线当且仅当 $a \equiv 0 \pmod{p}$，这等价于 $#E(\mathbb{F}_q) \equiv 1 \pmod{p}$。

证明过程如下：
1. 设 $X^2 - aX + q = (X - \alpha)(X - \beta)$，根据定理可知 $#E(\mathbb{F} {q^n}) = q^n + 1 - (\alpha^n + \beta^n)$。
2. 由引理可得 $s_n = \alpha^n + \beta^n$ 满足递推关系：
- $s_0 = 2$
- $s_1 = a$
- $s {n + 1} = as_n - qs_{n - 1}$
3. 若 $a \equiv 0 \pmod{p}$：