2、椭圆曲线基础理论：魏尔斯特拉斯方程与群法则

椭圆曲线基础理论：魏尔斯特拉斯方程与群法则

1. 魏尔斯特拉斯方程

在很多情况下，椭圆曲线 (E) 可以用形如 (y^2 = x^3 + Ax + B) 的方程来表示，这就是椭圆曲线的魏尔斯特拉斯方程。其中 (A) 和 (B) 是常数。这里需要明确 (A)、(B)、(x) 和 (y) 所属的集合，通常它们是某个域中的元素，比如实数域 (\mathbb{R})、复数域 (\mathbb{C})、有理数域 (\mathbb{Q})、素数 (p) 对应的有限域 (\mathbb{F}_p)（即 (\mathbb{Z}_p)），或者 (q = p^k)（(k \geq 1)）形式的有限域 (\mathbb{F}_q)。如果 (K) 是一个包含 (A) 和 (B) 的域，我们就说椭圆曲线 (E) 是在域 (K) 上定义的。

若要考虑坐标在某个包含 (K) 的域 (L) 中的点，可将其表示为 (E(L))，根据定义，这个集合总是包含在本节后面会明确定义的点 (\infty)：
[E(L) = {\infty} \cup {(x, y) \in L \times L | y^2 = x^3 + Ax + B}]

在大多数域上很难画出有意义的椭圆曲线图形，但从直觉上，考虑实数域上的图形会很有帮助。实数域上的椭圆曲线图形主要有两种基本形式：
- 对于 (y^2 = x^3 - x)，对应的三次方程有三个不同的实根。
- 对于 (y^2 = x^3 + x)，对应的三次方程只有一个实根。

我们不允许三次方程有重根，即假设 (4A^3 + 27B^2 \neq 0)。若三次方程的根为 (r_1)、(r_2)、(r_3)，可以证明该三次方程的判别式为 (