4、数学基础：群、环、域与椭圆曲线

数学基础：群、环、域与椭圆曲线

1. 群论基础

1.1 元素的阶

在群 (G) 中，元素 (a) 的阶 (o(a)) 定义为使得 (a^n = 1) 的最小正整数 (n)。若不存在这样的正整数，则称 (a) 具有无限阶，记为 (o(a) = \infty)。根据相关定理，元素 (a) 的阶与由 (a) 生成的循环子群的阶相同。

1.2 循环群的子群

• 定理 2.3 ：循环群有循环子群。若 (G = \langle a\rangle) 是循环群，对于 (|G|) 的任意因子 (d)，(a^{|G|/d}) 可以生成一个阶为 (d) 的子群。
• 定理 2.4 ：每个合数阶群都有自己的子群集合。

2. 环论

2.1 环的定义

环是一种代数结构，它推广了数学中的域。环 (R) 是一个具有两种二元运算（乘法 (\cdot) 和加法 (+)）的集合，需满足以下三个公理：
1. ((R, +)) 是阿贝尔群：
- 结合律：对于所有 (x, y, z \in R)，有 ((x + y) + z = x + (y + z))。
- 交换律：对于所有 (x, y \in R)，有 (x + y = y + x)。
- 加法单位元：存在元素 (0 \in R)，使得对于所有 (x \in R)，有 (x + 0 = x)。
- 加法逆元：对于任意 (x \in R)，存在 (-x \in R)，使得 (x + (-x) = 0)。