23、椭圆曲线与密码学：从基础到应用

椭圆曲线与密码学：从基础到应用

1. 椭圆曲线基础

椭圆曲线是形如 (Y^2 = X^3 + AX + B) 方程的解的集合，这类方程被称为魏尔斯特拉斯方程。例如 (E_1 : Y^2 = X^3 - 3X + 3) 和 (E_2 : Y^2 = X^3 - 6X + 5) 就是椭圆曲线的例子。

椭圆曲线有一个奇妙的特性，即可以对曲线上的两个点进行“加法”操作得到第三个点。这里的“加法”并非普通意义的加法，它在某些方面类似加法（具有交换律、结合律且存在单位元），但在其他方面又截然不同。

1.1 椭圆曲线加法的几何定义

设 (P) 和 (Q) 是椭圆曲线 (E) 上的两个点，通过以下步骤定义它们的“和”：
1. 画一条过 (P) 和 (Q) 的直线 (L)，直线 (L) 与椭圆曲线 (E) 相交于三个点 (P)、(Q) 和另一个点 (R)。
2. 将点 (R) 关于 (x) 轴反射（即将其 (Y) 坐标乘以 (-1)）得到新点 (R’)，点 (R’) 就是 (P) 和 (Q) 的“和”，记为 (P \oplus Q = R’)。

例如，对于椭圆曲线 (E : Y^2 = X^3 - 15X + 18)，点 (P = (7, 16)) 和 (Q = (1, 2)) 在曲线上。连接它们的直线 (L) 的方程为 (Y = \frac{7}{3}X - \frac{1}{3})。将直线方程代入椭圆曲线方程求解 (X)：
((\frac{7}{3}X - \frac{1}{3})^2 = X^3 - 15X + 18)
(\frac{49}{9}X^2 - \frac{14}{9}X + \frac{1}{9