移动机器人中的现代控制理论之状态空间表达式

最新推荐文章于 2025-06-09 19:15:23 发布

zhangrelay

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分类专栏：课程-现代控制理论- 文章标签：移动机器人现代控制理论

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/ZhangRelay/article/details/88033016

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本文深入探讨了状态空间模型在控制理论中的应用，通过两轮差动模型的机器人实例，详细解析了从简化运动学模型到包含惯性的动力学模型的演变过程。文章不仅提供了直观的图像说明，还给出了具体的数学公式，帮助读者理解状态空间模型在机器人控制中的作用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

状态空间表达式一般是现代控制理论的第一章，关于课程可以详细查看：

https://zhangrelay.blog.youkuaiyun.com/article/category/6161998

在讲述课程时，发现部分学生对于状态空间模型概念并没有非常形象的认知，机械的记忆公式，从而失去学习课程的乐趣，探索控制理论的热情。其实，现代控制理论非常简单，整本书都围绕如下这个公式展开：

$$\left\{\begin{matrix}
\dot{x}=Ax+Bu
\\
y=Cx+Du
\end{matrix}\right.$$

然后，一般而言，教材会有R-L-C电路或者带弹簧阻尼的机械运动模型，刷一波上述公式，嗯，没办法都是这样的。

放个图，大家感受一下：

然后，经过一系列推导，得到如下公式：

对应公式：$$ \dot{x}=Ax+Bu $$

但是，不生动不形象啊~讲的人痛苦，听的人无趣。索性换一个例子吧：

上图中有两个机器人，相对坐标系等先不讲，此处只关注单个机器人在地面上的运动特性。

机器人左轮和右轮的运动使得机器人在环境空间状态发生变化。大部分低成本平地两轮机器人都是类似的模型，如扫地机器人，巡逻机器人等。

具体公式推导，可以参考：

http://planning.cs.uiuc.edu/node659.html

更具体过程稍后补充：

第一种（全局坐标系）：

$$\begin{pmatrix}
\dot{x}
\\
\dot{y}
\\
\dot{\theta}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos \theta & 0 \\
\sin \theta & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\upsilon \\
\omega
\end{pmatrix}$$

第二种（机器人坐标系）：

$$\begin{pmatrix}
\upsilon _{x}
\\
\upsilon _{y}
\\
\dot{\theta}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
r/2 & r/2 \\
0 & 0\\
-r/L & r/L
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\omega _{l}\\
\omega _{r}
\end{pmatrix}$$

上述图片为引用。

这时候会发现？说好的状态空间模型怎么不对劲呢？？？只有：$$ \dot{x}= Bu $$

这是分割线

思考一下，机器人难道没有惯性吗？当停止电机供电，机器人是立刻停止，还是需要滑行一小段距离？

上述模型是运动学模型，是经过简化的，更真实的模型如下：

$$\left\{\begin{matrix}
\dot{x}=Ax+Bu
\\
y=Cx
\end{matrix}\right.$$

其中：

$$A=\begin{bmatrix}
a _{1} & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & a _{2}
\end{bmatrix} $$

$$B=\begin{bmatrix}
b _{1} & b _{1}\\
0 & 0\\
b _{2} & -b _{2}
\end{bmatrix}$$

$$C=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}$$

$$a_{1}=-2c/(Mr^{2}+2I_{\omega }), a_{2}=-2cl^{2}/(I_{\upsilon }r^{2}+2I_{\omega }l^2)$$

$$b_{1}=kr/(Mr^{2}+2I_{\omega }), b_{2}=krl/(I_{\upsilon }r^{2}+2I_{\omega }l^2)$$

各变量具体含义：

Iv 机器人重心的转动惯量 Moment of inertia around the C.G. of robot

M 机器人质量 Mass of the robot

l 左右轮与机器人重心之间的距离 Distance between left and right wheel and the c.g. of robot

Iw 车轮转动惯量 Moment of inertia of wheel

c 粘滞摩擦系数 Viscous friction factor

r 车轮半径 Radius of wheel

k 驱动增益系数 Driving gain factor

思考：为何A为系统矩阵，B为控制（输入）矩阵，C为输出（感知）矩阵？

此文目前为草稿，待后续完善。