JZOJ4844. 【GDOI2017模拟11.2】抗拒黄泉 背包合并相同状态优化容斥

题目大意

有一个游戏，给你一个$n*m$的棋盘，每个位置是0或1，现在你会随机在数值为1的格子进行上打标记操作。当棋盘中的每一行和每一列都至少有一个标记时结束，问结束的期望操作次数。

$n,m\leq20,nm\leq200$

解题思路

设第$i$次操作结束游戏的概率是$g_i$，那么答案就是$\sum_{i=0}^{\infty }g_i*i$，变形一下，设$P_i=\sum_{j=i}^{\infty }g_j$，即至少$i$此操作退出游戏的期望。那么答案就转化成$\sum_{i=0}^{\infty }P_i$，因为这样对于每个$g_i$都会累加$i$次。现在问题就转化为为$P_i$。

我们可以枚举哪些行和列从第$1$次操作到第$i$到没有被把标记，假设某一行或某一列被选中的概率是$p$，那么不被选中的概率就是$(1-p)^i$，我们设$p(s)$为选中集合中的行和列中的为1的格子的概率。那么通过容斥原理，分开奇偶性讨论，那么可得出下面的式子：

$$P_i=\sum_{|s|是奇数}（1-p(s)）^i-\sum_{|s|是偶数}（1-p(s)）^i$$
把它代入到求答案的式子：
$$Ans=\sum_{i=0}^{\infty}\sum_{|s|是奇数}（1-p(s)）^i-\sum_{i=0}^{\infty}\sum_{|s|是偶数}（1-p(s)）^i$$
通过等比数列求和公式，可化简得：
$$Ans=\sum_{|s|是奇数}\frac{1}{p(s)}-\sum_{|s|是偶数}\frac{1}{p(s)}$$
设$tot$为$1$的总个数，$sum(s)$为$s$状态中的行和列包含的$1$的个数，则$p(s)=\frac{sum(s)}{tot}$，把$p(s)$的公式代入。
$$Ans=\sum_{|s|是奇数}\frac{tot}{sum(s)}-\sum_{|s|是偶数}\frac{tot}{sum(s)}$$
我们发现对于上面的式子变量只有$sum(s)$，那么就可以把$sum(s)$相同的状态放在一起讨论。设$num(x)$为$sum(s)=x$的状态的个数（考虑符号，即$|s|$为奇数时加，$|s|$为偶数时减）。最后式子可以表达成
$$Ans=\sum_{x=1}^{tot} num(x)*\frac{tot}{x}$$
现在问题又转化成求$num(x)$的个数，这个问题可以用背包来做。首先，根据数据范围，可得知$min(n,m)$最大等于14，假设$n\leq m$，$n>m$时交换一下就可以了。那么我们只需要$2^n$枚举行的状态，既然行的状态确定了，直接对列背包就可以了。设$f[i][j][k]$表示做到第$i$行，现在的就性为$j(j=0或1)$，现在共累计了$k$个$1$。做完之后直接分寄偶统计答案就可以了。

程序

//YxuanKeith
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

int n, m, tot, map[25][25], f[21][2][205];
bool flag[25];
double ans;

void pre() {
    static int tmp[50][50];
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 1; j <= m; j ++) 
            tmp[i][j] = map[j][i];
    memcpy(map, tmp, sizeof tmp);
    swap(n, m);
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 1; j <= m; j ++)
            scanf("%d", &map[i][j]), tot += map[i][j];
    if (m > n) pre();
    for (int s = 0; s < (1 << m); s ++) {
        memset(f, 0, sizeof f);
        for (int i = 1; i <= m; i ++) 
            flag[i] = s & (1 << (i - 1));
        int sum = 0, ord = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i ++)
            for (int j = 1; j <= m; j ++)
                if (flag[j]) sum += map[i][j];
        for (int i = 1; i <= m; i ++) 
            if (flag[i]) ord ^= 1;
        f[0][ord][sum] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i ++) {
            int num = 0;
            for (int j = 1; j <= m; j ++)
                if (!flag[j]) num += map[i][j];
            for (int k = 0; k < 2; k ++) {
                for (int j = sum; j <= tot - num; j ++) {
                    f[i][k][j] += f[i - 1][k][j];
                    f[i][k ^ 1][j + num] += f[i - 1][k][j];
                }
            }
        }
        for (int i = 1; i <= tot; i ++)
            ans += (double)f[n][1][i] * tot / i - (double)f[n][0][i] * tot / i;
    }
    printf("%.5lf\n", ans);
}