51Nod 算法马拉松18 复杂度分析 二进制按位累计代价

题目大意

给出一棵n个点的树(以1号点为根),定义dep[i]为点i到根路径上点的个数。众所周知,树上最近公共祖先问题可以用倍增算法解决。现在我们需要算出这个算法精确的复杂度。我们定义计算点i和点j最近公共组先的精确复杂度为bit[dep[i]dep[lca(i,j)]]+bit[dep[j]dep[lca(i,j)]](bit[i]i1lca(i,j)ij)为了计算平均所需的复杂度为多少,请你帮忙计算任意两点计算最近公共组先所需复杂度的总和。
即计算ni=1nj=i+1bit[dep[i]dep[lca(i,j)]]+bit[dep[j]dep[lca(i,j)]]

n105

解题思路

由于是计算二进制中1的个数,我们可以按位来求贡献。考虑在找lca时的倍增算法,即每次往上跳2k个节点,对于本题来说倍增跳的次数实际就是对答案的贡献。我们考虑设F[i][j]表示节点i处,上一步跳了2j个格子有多少个,也就意味着这些点的下一步肯定只能是20...j1的。状态转移只需枚举每个状态的下一步是2的多少次方,然后转移就可以了。

现在的问题就是统计状态F[i][j]对于答案的贡献。一个显然的结论就是当前状态最多只能向上跳2j1个节点,也就是说与这些状态能求lca的点就是当前点向上2j1个节点所处节点的子树减去当前点的子树(这个也很好理解,画个图看看就可以了)。那么把每个状态的答案累计起来就是答案了。

程序

//YxuanwKeith
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;
typedef long long LL;

const int MAXN = 1e5 + 5, MAXM = 20;

int N, top, F[MAXN][20], Fa[MAXN][20], Size[MAXN], Deep[MAXN], D[MAXN];
int tot, Last[MAXN], Next[MAXN * 2], Go[MAXN * 2];
LL Ans;

void Link(int u, int v) {
    Next[++ tot] = Last[u], Last[u] = tot, Go[tot] = v;
}

void Dfs(int Now, int Pre) {
    Fa[Now][0] = Pre, Size[Now] = 1, Deep[Now] = Deep[Pre] + 1;
    for (int p = Last[Now]; p; p = Next[p]) {
        int v = Go[p];
        if (v == Pre) continue;
        Dfs(v, Now);
        Size[Now] += Size[v];
    }
}

int Son(int fa, int Now) {
    for (int i = 19; i + 1; i --)
        if (Deep[Fa[Now][i]] > Deep[fa]) Now = Fa[Now][i];
    return Now;
}

void Get(int Now, int Pre) {
    D[Deep[Now]] = Now;
    for (int p = Last[Now]; p; p = Next[p]) {
        int v = Go[p];
        if (v == Pre) continue;
        Get(v, Now);
    }
    F[Now][19] ++;
    for (int i = 0; i < 20; i ++) {
        int fa = Fa[Now][i];
        if (!fa) break;
        for (int j = i + 1; j < 20; j ++) {
            if (!F[Now][j]) continue;
            int top = (!Fa[fa][i]) ? 1 : D[Deep[Fa[fa][i]] + 1];
            int Siz = Size[top] - Size[D[Deep[fa] + 1]];
            Ans += 1ll * Siz * F[Now][j];
            F[fa][i] += F[Now][j];  
        }
    }
}

void Prepare() {
    for (int j = 1; j < 20; j ++)
        for (int i = 1; i <= N; i ++)
            Fa[i][j] = Fa[Fa[i][j - 1]][j - 1];
}

int main() {
    scanf("%d", &N);
    for (int i = 1; i < N; i ++) {
        int u, v;
        scanf("%d%d", &u, &v);
        Link(u, v), Link(v, u);
    }
    Dfs(1, 0);
    Prepare();
    Get(1, 0);
    printf("%lld\n", Ans);
}
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