51Nod 算法马拉松18 复杂度分析 二进制按位累计代价

题目大意

给出一棵$n$个点的树(以1号点为根)，定义$dep[i]$为点i到根路径上点的个数。众所周知，树上最近公共祖先问题可以用倍增算法解决。现在我们需要算出这个算法精确的复杂度。我们定义计算点$i$和点$j$最近公共组先的精确复杂度为$bit[dep[i]-dep[lca(i,j)]]+bit[dep[j]-dep[lca(i,j)]](bit[i]表示i在二进制表示下有多少个1，lca(i,j)表示点i和点j的最近公共祖先)。$为了计算平均所需的复杂度为多少，请你帮忙计算任意两点计算最近公共组先所需复杂度的总和。
即计算$\sum_{i=1}^n\sum_{j=i + 1}^{n}bit[dep[i]-dep[lca(i,j)]]+bit[dep[j]-dep[lca(i,j)]]$。

$n\leq10^5$

解题思路

由于是计算二进制中1的个数，我们可以按位来求贡献。考虑在找$lca$时的倍增算法，即每次往上跳$2^k$个节点，对于本题来说倍增跳的次数实际就是对答案的贡献。我们考虑设$F[i][j]$表示节点$i$处，上一步跳了$2^j$个格子有多少个，也就意味着这些点的下一步肯定只能是$2^{0...j-1}$的。状态转移只需枚举每个状态的下一步是2的多少次方，然后转移就可以了。

现在的问题就是统计状态$F[i][j]$对于答案的贡献。一个显然的结论就是当前状态最多只能向上跳$2^j-1$个节点，也就是说与这些状态能求$lca$的点就是当前点向上$2^j-1$个节点所处节点的子树减去当前点的子树（这个也很好理解，画个图看看就可以了）。那么把每个状态的答案累计起来就是答案了。

程序

//YxuanwKeith
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;
typedef long long LL;

const int MAXN = 1e5 + 5, MAXM = 20;

int N, top, F[MAXN][20], Fa[MAXN][20], Size[MAXN], Deep[MAXN], D[MAXN];
int tot, Last[MAXN], Next[MAXN * 2], Go[MAXN * 2];
LL Ans;

void Link(int u, int v) {
    Next[++ tot] = Last[u], Last[u] = tot, Go[tot] = v;
}

void Dfs(int Now, int Pre) {
    Fa[Now][0] = Pre, Size[Now] = 1, Deep[Now] = Deep[Pre] + 1;
    for (int p = Last[Now]; p; p = Next[p]) {
        int v = Go[p];
        if (v == Pre) continue;
        Dfs(v, Now);
        Size[Now] += Size[v];
    }
}

int Son(int fa, int Now) {
    for (int i = 19; i + 1; i --)
        if (Deep[Fa[Now][i]] > Deep[fa]) Now = Fa[Now][i];
    return Now;
}

void Get(int Now, int Pre) {
    D[Deep[Now]] = Now;
    for (int p = Last[Now]; p; p = Next[p]) {
        int v = Go[p];
        if (v == Pre) continue;
        Get(v, Now);
    }
    F[Now][19] ++;
    for (int i = 0; i < 20; i ++) {
        int fa = Fa[Now][i];
        if (!fa) break;
        for (int j = i + 1; j < 20; j ++) {
            if (!F[Now][j]) continue;
            int top = (!Fa[fa][i]) ? 1 : D[Deep[Fa[fa][i]] + 1];
            int Siz = Size[top] - Size[D[Deep[fa] + 1]];
            Ans += 1ll * Siz * F[Now][j];
            F[fa][i] += F[Now][j];  
        }
    }
}

void Prepare() {
    for (int j = 1; j < 20; j ++)
        for (int i = 1; i <= N; i ++)
            Fa[i][j] = Fa[Fa[i][j - 1]][j - 1];
}

int main() {
    scanf("%d", &N);
    for (int i = 1; i < N; i ++) {
        int u, v;
        scanf("%d%d", &u, &v);
        Link(u, v), Link(v, u);
    }
    Dfs(1, 0);
    Prepare();
    Get(1, 0);
    printf("%lld\n", Ans);
}