GDOI2016模拟4.22 无界单词 字符串上的动态规划

题目大意

给定一个$N$和$K$，问所有长度为$L$的仅包含字符$a，b$的单词中有多少个无界单词，以及字典序第$K$的无界单词是什么？
有界单词：对于一个单词$S$，如果存在一个长度$L$，满足$0 < L < length(S)$，并且使得$S$长度为$L$的前缀与S长度为$L$的后缀相同，则称$S$是有界的。
无界单词：对于一个单词$S$，如果不存在一个$L$使之成为有界单词，即它为无界单词。
题目有$T$组测试数据。

$L <= 64$，$T <= 4$

解题思路

相比第二问来说，肯定是第一问比较好处理，那我们先来考虑一下第一问。
我们可以令$F_i$表示长度为$i$的单词有多少个是无序的，计算时无界单词考虑起来比较繁琐，所以可以用所有单词的数量减去有界单词的数量来得到$F_i$的值。那么现在就需要考虑长度为$i$的有界单词的数量。

假如当前的有界单词长度为$L$的前缀和后缀相等，我们对每个单词统计数量是只考虑最小的$L$来保证不会算重。一个显然的性质就是当$L > \frac{i}{2}$时，肯定存在一个更小的$L$使之满足要求，所以就只需考虑小于等于$\frac{i}{2}$的$L$。考虑最小的$L$时我们可以直接把之前统计出的长度小于$\frac{i}{2}$的无界单词复制一遍放在头和尾，中间剩下字符任选，这样就可以推出$F_i$。总的来说就可以写出递推式$F_i = 2^i - \sum_{j = 1}^{\frac{i}{2}} F_j * 2^{i - 2j}$。$F_N$就是第一问的答案，并且与第二问也有关联。

对于第二问，容易想到的是我们可以一位一位的判断能不能放$a$，现在的问题就变成了如何统计一个确定前$Len$个字符的字符串能构成无界单词的个数。其实跟第一问差不多，也要维护一个$F_i$表示前$i$个字符组成的字符串（包括未确定的）组成的无序单词的数量。但是递推时需要分几种情况讨论一下。
假设当前已经确定了前$Len$个字符，现在递推到第$i$位，枚举到长度为$j$的无序前缀（这里的$i$和$j$和上面的含义一样）

1. $i \leq Len$
   那么当前要求的前$Len$个字符都是已经确定。所以直接用$KMP$判断一下已经确定的前$i$个字符组成的单词是否是无序单词就可以了。

2. $Len \leq j$
   那么对当前的$F_i$造成影响的$F_j$都在前面的转移中特殊考虑过了，所以第一问一样直接转移就可以了。

3. $Len > j$，$Len \leq i -j$
   这种情况跟第二种差不多，但是相同的前后缀中有些任选的位置已经在被确定了，所以只需把中间任选的方案（$2^{i - 2j}$），改成除了确定的位置任选（$2^{i-2j-(Len - j)}$）

4. $Len > i - j$
   当出现这种情况时不仅中间任选字符已经确定，而且我们把前缀复制到后缀时，放后缀的有些位置的字符也已经确定。所以我们只需用$Hash$判断一下当前超出的位置是不是当前单词的前缀。而由于可以任选字符的位置已经确定，所以如果匹配成功，只需把有序单词的个数加$+E$。

程序

//YxuanwKeith
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;
typedef unsigned long long LL;

const int MAXN = 65, HNum = 15731;

LL K, Pow[MAXN], F[MAXN], Has[MAXN], H[MAXN];
int Len, Last, Next[MAXN], N, Pj, Ans[MAXN];

void Prepare() {
    Pow[0] = Has[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= 64; i ++) Pow[i] = Pow[i - 1] * 2;
    for (int i = 1; i <= 64; i ++) Has[i] = Has[i - 1] * HNum;
}

bool Judge(int Len, int r) {
    int l = r - Len + 1;
    return H[Len] - H[0] * Has[Len] == H[r] - H[l - 1] * Has[r - l + 1]; 
}

LL Solve() {
    memset(F, 0, sizeof F);
    for (int i = 1; i <= N; i ++) {
        if (i < Len && !Next[i]) F[i] = 1;
        if (i < Len) continue;
        F[i] = Pow[i - Len];
        for (int j = 1; j <= i / 2; j ++) {
            LL Cnt;
            if (Len <= j) Cnt = Pow[i - 2 * j];
            if (Len > j && Len <= i - j) Cnt = Pow[i - 2 * j - (Len - j)];
            if (Len > i - j) Cnt = Judge(Len - (i - j), Len);
            F[i] -= F[j] * Cnt;
        }
    }
    return F[N];
}

void PushIn(int c) {
    Ans[++ Len] = c, H[Len] = H[Len - 1] * HNum + c;
    if (Len == 1) return;
    for (; Pj && Ans[Pj + 1] != Ans[Len]; Pj = Next[Pj]);
    if (Ans[Pj + 1] == Ans[Len]) Pj ++;
    Next[Len] = Pj;
}

void Work() {
    Len = 0, Pj = 0;
    scanf("%d%lld", &N, &K);
    printf("%lld\n", Solve());
    for (int i = 1; i <= N; i ++) {
        Last = Pj;
        PushIn(0);
        LL Num = Solve();
        if (Num < K) {
            Pj = Last, Len --;
            K -= Num;
            PushIn(1);
        }
    }
    for (int i = 1; i <= N; i ++) printf("%c", Ans[i] + 'a');
    printf("\n");
}

int main() {
    Prepare();
    int Test;
    scanf("%d", &Test);
    for (; Test; Test --) Work();
}