JZOJ4609【NOI2016模拟7.11】哈夫曼树期望的线性性

最新推荐文章于 2022-04-01 15:30:23 发布

YxuanwKeith

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分类专栏：算法-概率

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本文介绍了一种利用组合数学原理解决特定类型算法问题的方法。针对一组数值，通过计算每轮选择数字的概率及其对总期望的贡献，最终得出整组数字操作后期望值的计算公式。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意

现在有 $N$ 个数，没个数有个权值 $Val_i$ 每次有在这堆数中等概率的选出两个数，然后把这两个数合成一个数加到这堆数中，新的数的代价为这两个数的和。并且花费新加入数权值的代价，问代价的期望。
最后输出 $ans * \prod_{i = 2}^{n} \frac{i*(i-1)}{2}$ 。

$N \leq 10^5$
$Val_i\leq 10^3$

解题思路

我们考虑期望的计算，是每个数贡献的和。因为选每个数的概率是一样的，所以这 $N$ 个数没有本质上的区别，我们可以一起考虑。那么我们就考虑在第 $i$ 轮中的一个数被选中的概率，就等于 $\frac{y-1}{\frac{y(y-1)}{2}}=\frac{2}{y}$ ，那么对于第 $i$ 轮取数，某个数被选中的概率就是 $\frac{2}{y}$ ，因为每个数都是独立的，所以我们不必考虑哪些数已经和起来。那么最后的答案就是： $(\sum_{i=1}^{n}a_i)*(\sum_{i = 1}^{n}\frac{2}{y})$ 。最后按题目要求输出就可以了。

程序

//YxuanwKeith
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int MAXN = 1e5 + 5;
const int Mo = 1e9 + 7;

int N, Inv[MAXN];

int Power(int x, int y) {
    int Ans = 1;
    for (; y; y >>= 1, x = 1ll * x * x % Mo)
        if (y & 1) Ans = 1ll * Ans * x % Mo;
    return Ans;
}

int main() {
    scanf("%d\n", &N);
    for (int i = 1; i <= N; i ++) Inv[i] = Power(i, Mo - 2);
    int All = 0;
    for (int i = 1; i <= N; i ++) {
        int Now;
        scanf("%d\n", &Now);
        All = All + Now;
    }
    int Ans = 0;
    for (int i = 2; i <= N; i ++) 
        Ans = (Ans + 1ll * All * Inv[i] % Mo * 2 % Mo) % Mo; 
    for (int i = 2; i <= N; i ++)
        Ans = 1ll * Ans * i % Mo * (i - 1) % Mo * Inv[2] % Mo;
    printf("%d\n", Ans);
}