SystemView学习日志（1）：PLL仿真

一、仿真实验

仿真系统参数表

编号	属性	参数
Token0	Source	Amp = 1 v; Freq = 64 Hz; Phase = 0 deg; Output 0 = Sine t5 t1; Output 1 = Cosine; Max Rate (Port 0) = 20e+3 Hz
Token1	Multiplier	Inputs from t0p0 t4p0; Outputs to 2 8; Max Rate = 20e+3 Hz
Token2	Operator	Chebyshev Lowpass IIR; 4 Poles; Fc = 150 Hz; Quant Bits = None; Init Cndtn = Transient; DSP Mode Disabled; Max Rate = 20e+3 Hz
Token 3	Operator	Gain = 1; Gain Units = Linear; Max Rate = 20e+3 Hz
Token 4	Function	Amp = 1 v; Freq = 100 Hz; Phase = 0 deg; Mod Gain = 100 Hz/v; Output 0 = Quadrature (Sin) t1 t7; Output 1 = In-Phase (Cos); Max Rate (Port 0) = 20e+3 Hz
Token5/6/7/8	Sink	——

二、理论分析

因为

所以静态上可以锁定。

稳态相差

三、仿真结果

仿真时长0.1s，仿真结果显示，输出信号畸变。

延长仿真时间至1.5s，将后1s仿真数据导入Matlab分析。

四、再分析

根据仿真结果重新进行理论分析

乘法鉴相器在锁定时会在控制电压里产生一个强烈的「和频」纹波。
当参考与 VCO 都是 64 Hz 时，乘法器输出包含DC和128 Hz两项。低通 fc=150 Hz 把 128 Hz 基本放了进去，这就让 VCO 的控制电压带着 128 Hz 的频率调制。相位以 128 Hz 在 64 Hz 正弦上“抖”，经 Bessel 展开后，输出就会在 fc±n⋅128 Hz周围出现边带。因为载频本身就是 64 Hz，64±128=64,192（三倍频），更高阶会到 320（五倍频）……于是在 MATLAB 里看到的频谱正好是 64、3×64、5×64，而且幅度随阶数迅速衰减（0.79/0.20/0.01 的比例也符合“频率调制小指数 β 时，J₁、J₃、J₅ 迅速变小”的现象）。

设输入参考信号

VCO输出信号

正弦鉴相器输出

仿真结果显示，锁定后

所以是直流/低频相位误差信号；

是两倍频（128 Hz）拍频项。

低通 fc=150 Hz 几乎把 128 Hz 放了进去（此时滤波器增益约为0.3dB），于是 VCO 控制电压里不但有 DC，还带着128 Hz 的余波。

所以VCO的输出相位

得

因此 VCO 输出等价于以 2ω（=128 Hz）为调制频率、调制指数 β的“频率调制”：

其中

由Jacobi–Anger 展开

是第一类贝塞尔函数。它把“指数里含有正弦的指数”展开成“许多谐波指数的线性组合”。

所以

也就是说，在载频 （64 Hz）两侧，每隔（128 Hz）一条边带，幅度系 Bessel 函数

同时，小调制指数时，Bessel 近似

由于上面的“频率重合”，

• 64 Hz 处的幅度近似由  与 （来自 -64 Hz）等项矢量叠加，数值近似为

• 192 Hz 处主要由 ​ 与  叠加，数值近似为 ​

• 320 Hz 数值近似为

在误差允许范围内，理论分析数值结果与仿真结果近似。从而验证了“128 Hz 相位抖动 → Bessel 边带”的机理。

尝试收窄滤波器带宽（fc=80 Hz）后，输出信号调频失真畸变大幅减轻，进一步说明理论分析的准确性。