夜深人静写算法(三十九)- 卢卡斯定理

本文介绍卢卡斯定理及其在解决模意义下组合数计算问题中的应用。通过递推公式和通项公式引出问题,详细证明了卢卡斯定理,并给出相关题集整理,帮助理解并运用该定理。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

一、前言

  有人问我,你这些东西应该是你当时做 ACM 竞赛时候的东西了,现在都毕业十年了,为什么还在搞这些啊?公众号很赚钱吗?
  我想说的是,《夜深人静写算法》这个公众号(暂时)不是为了赚钱。要不是因为情怀,我可能早就弃坑公众号了。
  有时候,既然开始了,就一直做下去吧,不然当时为什么要开始呢?就像既然谈恋爱了,就一直爱下去吧,毕竟曾经爱过。既然无法逃离沉没成本的枷锁,就当记录自己逝去的青春吧。
  这周要更新的内容,还是目前工作中对我来说,毫无用处的东西,纯粹是为了刷题爽,一直刷题一直爽的 卢卡斯定理

二、问题引入

【例题1】给定 n , m , p ( 0 ≤ n ≤ 1 0 9 , 0 ≤ m ≤ n , 1 ≤ p ≤ 1 0 5 ) n, m, p (0 \le n \le 10^9, 0 \le m \le n, 1 \le p \le 10^5)

### 关于前缀和算法 #### 前缀和的概念 前缀和是一种用于快速计算数组某一段区间的元素之和的技术。通过预先处理得到一个新的数组 `prefix_sum`,其中每一个位置 i 上存储的是原数组从起始位置到当前位置所有元素的累加和。这样可以在常数时间内求得任意子数组的和。 对于长度为 n 的输入序列 A[0...n-1],其对应的前缀和数组 PrefixSum 定义如下: \[ \text{PrefixSum}[i]=\sum_{j=0}^{i}\text{A}[j], (0≤i<n) \][^5] #### C++实现方式 下面是一个简单的C++代码片段来展示如何构建并利用前缀和来进行区间查询: ```cpp #include <iostream> using namespace std; int main() { int nums[] = {1, 2, 3, 4, 5}; const size_t N = sizeof(nums)/sizeof(int); // 构建前缀和数组 long prefix_sums[N]; prefix_sums[0] = nums[0]; for(size_t i = 1; i < N; ++i){ prefix_sums[i] = prefix_sums[i - 1] + nums[i]; } // 查询指定范围内的总和 auto sum_range = [](const long* ps, int start, int end)->long{ if(start == 0) return ps[end]; else return ps[end]-ps[start-1]; }; cout << "The sum of elements from index 1 to 3 is: " << sum_range(prefix_sums, 1, 3); return 0; } ``` 这段代码首先创建了一个名为 `nums` 的整型数组作为示例数据源;接着定义了函数对象 `sum_range()` 来方便地获取给定索引范围内数值的累积和;最后打印出了下标 1 至 3 这个闭合区间内所有数字相加之和的结果. #### 学习资源推荐 针对希望深入理解前缀和技术及其应用场景的人士,《夜深人静算法》系列提供了丰富的案例研究与实践指导。特别是有关整数分块的部分讨论到了一些基于前缀和技巧优化解决方案的实际例子. 此外,“画解强连通”虽然主要关注图论中的强连通组件问题,但也涉及到了多种高效的数据结构与算法组合应用实例,可以间接帮助读者更好地掌握包括但不限于前缀在内的各类实用工具[^1].
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包

打赏作者

英雄哪里出来

你的鼓励将是我创作的最大动力

¥1 ¥2 ¥4 ¥6 ¥10 ¥20
扫码支付:¥1
获取中
扫码支付

您的余额不足,请更换扫码支付或充值

打赏作者

实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值