夜深人静写算法（三十）- 二分快速幂

已于 2025-01-18 17:16:55 修改
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分类专栏： 《夜深人静写算法》 文章标签： 算法 面试 数论 二分快速幂 递归
于 2022-02-08 07:49:24 首次发布
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本文介绍了二分快速幂算法，作为数论基础算法的一种，主要用于处理模幂运算。通过模乘避免溢出，利用递归和二进制优化提高效率，解决了不同数据范围下的计算问题，包括模数为64位整数的情况。文章提供了算法实现和时间复杂度分析，并给出了相关题集整理。

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文章目录

一、前言

  刷题的时候遇到不会的数论题，真的是很揪心，从头学起吧，内容实在是太多了，每个知识点都要证明吃透，不然下次遇到还是不会；不学吧，又不甘心，就是单纯的想把这个题过了，真是进退两难！
  如果你也和我有一样的困扰，那接下来就让我们一起来专攻一下数论的知识吧！额 … … 介于明天又要上班，就先来个基础的数论算法吧。二分快速幂，就当开胃菜了，适当也要劳逸结合不是嘛！

二、模幂运算

【例题一】已知三个正整数 a , b ,

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计算n^k  , 当k太大时 。 不能再限制的时间内解决。  这时我们就要用二分快速幂 ，      例如, k=8  ,   化为二进制数  1000 ;      又可以发现,  （1）n(1)* n(1) =n(10) , （2） n(10)* n(10) =n(100) （3）, n(100)* n(100) =n(1000)  ; (4) n(0)*n(0)=n(1)  例
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### 关于前缀和算法 #### 前缀和的概念 前缀和是一种用于快速计算数组某一段区间的元素之和的技术。通过预先处理得到一个新的数组 `prefix_sum`，其中每一个位置 i 上存储的是原数组从起始位置到当前位置所有元素的累加和。这样可以在常数时间内求得任意子数组的和。 对于长度为 n 的输入序列 A[0...n-1]，其对应的前缀和数组 PrefixSum 定义如下： \[ \text{PrefixSum}[i]=\sum_{j=0}^{i}\text{A}[j], (0≤i<n) \][^5] #### C++实现方式 下面是一个简单的C++代码片段来展示如何构建并利用前缀和来进行区间查询： ```cpp #include <iostream> using namespace std; int main() { int nums[] = {1, 2, 3, 4, 5}; const size_t N = sizeof(nums)/sizeof(int); // 构建前缀和数组 long prefix_sums[N]; prefix_sums[0] = nums[0]; for(size_t i = 1; i < N; ++i){ prefix_sums[i] = prefix_sums[i - 1] + nums[i]; } // 查询指定范围内的总和 auto sum_range = [](const long* ps, int start, int end)->long{ if(start == 0) return ps[end]; else return ps[end]-ps[start-1]; }; cout << "The sum of elements from index 1 to 3 is: " << sum_range(prefix_sums, 1, 3); return 0; } ``` 这段代码首先创建了一个名为 `nums` 的整型数组作为示例数据源；接着定义了函数对象 `sum_range()` 来方便地获取给定索引范围内数值的累积和；最后打印出了下标 1 至 3 这个闭合区间内所有数字相加之和的结果. #### 学习资源推荐 针对希望深入理解前缀和技术及其应用场景的人士，《夜深人静写算法》系列提供了丰富的案例研究与实践指导。特别是有关整数分块的部分讨论到了一些基于前缀和技巧优化解决方案的实际例子. 此外，“画解强连通”虽然主要关注图论中的强连通组件问题，但也涉及到了多种高效的数据结构与算法组合应用实例，可以间接帮助读者更好地掌握包括但不限于前缀在内的各类实用工具[^1].
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