【POJ 1845】Sumdiv（逆元解法）

最新推荐文章于 2021-06-07 10:56:43 发布

Heilzenith

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分类专栏：题解文章标签： ACAG 数论逆元快速幂

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本文介绍了一个特定的数学问题：求解AB的模9901所有约数之和，并给出了一种有效的算法实现。通过将AB分解质因数并利用等比数列求和公式进行计算，结合费马小定理处理模意义下的除法运算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

求 $A^B$ 的所有约数之和 $\mod 9901$ 。 $1≤A,B≤5\times10^7$ 。

算法分析

根据之前博客的题解， $A^B$ 的约数之和为 $(p_0^0+p_0^1+...+p_0^{c_0B})\times(p_1^0+p_1^1+...+p_1^{c_1B})\times...\times(p_n^0+p_n^1+...+p_n^{c_nB})$ 。

利用等比数列求和公式计算即可，公式涉及除法时可以使用费马小定理计算出分母的逆元。

注意，在模意义下，减去一个数后一定要再加上模数，不然结果可能出现负数。

代码实现

#include <cstdio>
#include <vector>
typedef long long int ll;
const ll mod=9901;
std::vector<ll> prime;
std::vector<ll> times;
inline void divide(ll n) {
    for(ll i=2;i*i<=n;++i) {
        if(n%i==0) {
            prime.push_back(i);ll cnt=0;
            while(n%i==0) {n/=i;++cnt;}
            times.push_back(cnt);
        }
    }
    if(n>1) {prime.push_back(n);times.push_back(1);}
}
inline ll qpow(ll n,ll k) {
    ll ans=1;
    while(k) {
        if(k&1) ans=ans*n%mod;
        n=n*n%mod;k>>=1;
    }
    return ans;
}
int main() {
    ll a,b;scanf("%lld%lld",&a,&b);
    divide(a);
    ll ans=1;
    for(int i=0,end=prime.size();i<end;++i) {
        times[i]*=b;
        if((prime[i]-1)%mod==0) ans=ans*(times[i]+1)%mod;
        else ans=ans*((qpow(prime[i],times[i]+1)-1+mod)*qpow(prime[i]-1,mod-2)%mod)%mod;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}