【POJ 3696】The Luckiest Number

最新推荐文章于 2020-04-13 01:43:26 发布

Heilzenith

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分类专栏：题解文章标签： ACAG 欧拉函数快速幂

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/WHZ2018/article/details/81392344

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本文探讨了如何计算由连续的8组成的数成为特定数值l的倍数所需的最少个数。通过数学推导，将问题转化为求解模运算下的指数问题，并提供了完整的算法实现，包括快速幂和模运算等关键步骤。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

至少多少个 $8$ 连在一起组成的数是 $l(l≤2\times10^9)$ 的倍数。

算法分析

设 $x$ 个 $8$ 连在一起组成的数是 $l$ 的倍数，则表示为 $l|8\times\frac{(10^x-1)}{9}$ 。

转化一下就是 $9\times l|8\times(10^x-1)$ ，接下来怎么转化？

$9\times l$ 是 $10^x-1$ 的约数吗？不一定，还需要从重去除 $l$ 与 $8$ 分解质因数后的公共部分，即 $gcd(8,l)$ 。

所以上式就变成 $\frac{9\times l}{gcd(8,l)}|10^x-1$ ，即 $10^x\equiv1(\mod\frac{9\times l}{gcd(8,l)})$ 。

有一个结论：

$10^x\equiv1(\mod p)$ ，满足条件的最小的 $x$ 一定是 $\phi(p)$ 的约数。（反证法）

然后就可以求出 $\phi(\frac{9\times l}{gcd(8,l)})$ 的值，枚举它的所有约数，使用快速幂一一判断是否满足条件即可。

注意开 $64$ 位整数，计算快速幂的时候中间结果会超过 $64$ 位整数范围，因此需要利用之前本博客中介绍的技巧计算。

代码实现

#include <cstdio>
#include <climits>
#include <algorithm>
typedef long long int ll;
ll gcd(ll a,ll b) {return b?gcd(b,a%b):a;}
inline ll eular(ll n) {
    ll ans=n;
    for(ll i=2;i*i<=n;++i) {
        if(n%i==0) {
            ans=ans/i*(i-1);
            while(n%i==0) n/=i;
        }
    }
    if(n>1) ans=ans/n*(n-1);
    return ans;
}
ll p;
ll mul(ll a,ll b) {
    ll temp=(long double)a*b/p;
    ll ans=a*b-temp*p;
    if(ans>=p) ans-=p;
    if(ans<0) ans+=p;
    return ans;
}
ll pow(ll n,ll k) {
    ll ans=1;
    while(k) {
        if(k&1) ans=mul(ans,n);
        n=mul(n,n);k>>=1;
    }
    return ans;
}
int main() {
    ll l;int kase=0;
    while(scanf("%lld",&l)==1&&l) {
        p=l*9/gcd(8,l);ll n=eular(p),ans=1LL<<60;
        for(ll i=1;i*i<=n;++i) {
            if(n%i==0) {
                if(pow(10,i)==1) {ans=i;break;}
                else if(i*i!=n&&pow(10,n/i)==1) ans=std::min(ans,n/i);
            }
        }
        printf("Case %d: %lld\n",++kase,ans==1LL<<60?0:ans);
    }
    return 0;
}