逆元学习

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分类专栏：数学

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本文介绍了逆元的概念及其求解方法，包括扩展欧几里得算法和费马小定理，并提出了一种通用求逆元的方法。通过POJ1845题目详细展示了如何利用逆元解决实际问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

定义：对于正整数和，如果有，那么把这个同余方程中的最小正整数解叫做模的逆元。

逆元一般用扩展欧几里得算法来求得，如果为素数，那么还可以根据费马小定理得到逆元为。

推导过程如下

求现在来看一个逆元最常见问题，求如下表达式的值（已知）

当然这个经典的问题有很多方法，最常见的就是扩展欧几里得，如果是素数，还可以用费马小定理。

但是你会发现费马小定理和扩展欧几里得算法求逆元是有局限性的，它们都会要求与互素。实际上我们还有一

种通用的求逆元方法，适合所有情况。公式如下

现在我们来证明它，已知，证明步骤如下

例题POJ1845 http://poj.org/problem?id=1845

题意：给定两个正整数和，求的所有因子和对9901取余后的值。

分析：很容易知道，先把分解得到，那么得到，那么

的所有因子和的表达式如下

方法一：二分求等比数列和：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
//#define debug
using namespace std;

typedef long long LL;

const int MOD = 9901;
const int maxn = 10005;

int p[maxn],cnt;
int num[maxn];
bool prime[maxn];

void isprime()
{
    cnt = 0;
    memset(prime,true,sizeof(prime));
    for(int i=2; i<maxn; i++)
    {
        if(prime[i])
        {
            p[cnt++] = i;
            for(int j=i+i; j<maxn; j+=i)
                prime[j] = false;
        }
    }
}

/*void fenjie(int n)
{
    cnt=0;
    memset(p,0,sizeof(p));
    for(int i=2;i*i<=n;i++){
        if(n%i==0) p[cnt]=i;
        while(n%i==0)
            num[cnt]++;
        cnt++;
    }
    if(n!=1){
        p[cnt]=n;
        num[cnt++]=1;
    }
}*/

LL quick_mod(LL a,LL b)
{
    LL ans=1;
    while(b){
        if(b&1){
            ans=ans*a%MOD;
            b--;
        }
        b>>=1;
        a=a*a%MOD;
    }
    return ans;
}

LL sum(LL a,LL n)
{
    if(n==0) return 1;
    LL t=sum(a,(n-1)/2);
    if(n&1){
        LL tmp=quick_mod(a,(n+1)/2);
        t=(t+t%MOD*tmp%MOD)%MOD;
    }
    else{
        LL tmp=quick_mod(a,(n+1)/2);
        t = (t + t % MOD * tmp % MOD) % MOD;
        t = (t + quick_mod(a,n)) % MOD;
    }
    return t;
}

void solve(LL a,LL b)
{
    //fenjie(a);
    isprime();
    LL ans=1;
    #ifdef debug
    cout<<"*****************"<<endl;
    for(int i=0;i<cnt;i++)
        cout<<p[i]<<" "<<num[i]<<endl;
    cout<<"*****************"<<endl;
    #endif // debug
    for(int i=0;p[i]*p[i]<=a;i++){
        if(a%p[i]==0){
            int num=0;
            while(a%p[i]==0)
                num++,a/=p[i];
            ans*=sum(p[i],num*b)%MOD;
            ans%=MOD;
        }
    }
    if(a>1)
        ans*=sum(a,b)%MOD;
    printf("%lld\n",ans%MOD);
}
int main()
{
    LL a,b;
    while(~scanf("%lld%lld",&a,&b)){
        solve(a,b);
    }
    return 0;
}

方法二：求逆元+等比数列求和公式

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
//#define debug
using namespace std;

typedef long long LL;

const int MOD = 9901;
const int maxn = 10005;

int p[maxn],cnt;
int num[maxn];
bool prime[maxn];

void isprime()
{
    cnt = 0;
    memset(prime,true,sizeof(prime));
    for(int i=2; i<maxn; i++)
    {
        if(prime[i])
        {
            p[cnt++] = i;
            for(int j=i+i; j<maxn; j+=i)
                prime[j] = false;
        }
    }
}

LL multi(LL a,LL b,LL m)
{
    LL ans=0;
    while(b){
        if(b&1){
            ans=(ans+a)%m;
            b--;
        }
        b>>=1;
        a=(a+a)%m;
    }
    return ans;
}

LL quick_mod(LL a,LL b,LL m)
{
    LL ans=1;
    while(b){
        if(b&1){
            ans=multi(ans,a,m);
            b--;
        }
        b>>=1;
        a=multi(a,a,m);
    }
    return ans;
}

void solve(LL a,LL b)
{
    isprime();
    LL ans=1;
    for(int i=0;p[i]*p[i]<=a;i++){
        if(a%p[i]==0){
            int num=0;
            while(a%p[i]==0)
                num++,a/=p[i];
            LL M = (p[i]-1)*MOD;
            ans*=(quick_mod(p[i],num*b+1,M)+M-1)/(p[i]-1);
            ans%=MOD;
        }
    }
    if(a>1){
        LL M=(a-1)*MOD;
        ans*=(quick_mod(a,b+1,M)+M-1)/(a-1);
        ans%=MOD;
    }
    printf("%lld\n",ans);
}

int main()
{
    LL a,b;
    while(~scanf("%lld%lld",&a,&b)){
        solve(a,b);
    }
    return 0;
}