【CH 3301】同余方程

本文介绍了一种求解特定形式同余方程的方法,通过转换为二元一次方程并利用扩展欧几里得算法进行求解。该算法能够找到最小正整数解。

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题目描述

求关于 xx 的同余方程 ax1(modb) 的最小正整数解.

算法分析

将同余方程转化为二元一次方程的形式,即由 ax1(modb)ax≡1(modb) 转化为 axby=1ax−by=1

使用扩展欧几里得算法求解:

b=0b=0 时要满足 axby=gcd(a,b)ax−by=gcd(a,b),可得 x=1,y=0x=1,y=0

b0b≠0 时,bx0+(amodb)y0=gcd(b,amodb)bx0+(amodb)y0=gcd(b,amodb),将 amodbamodbaab×ba−⌊ab⌋×b 表示得到 bx0+(aab×b)y0=gcd(b,amodb)bx0+(a−⌊ab⌋×b)y0=gcd(b,amodb),化简得 ay0+b(x0ab×y0)=gcd(b,amodb)ay0+b(x0−⌊ab⌋×y0)=gcd(b,amodb),则 x=y0,y=x0ab×y0x=y0,y=x0−⌊ab⌋×y0,以此递归即可。

实现时可将 x,yx,y 的调用位置互换,以不必使用格外的临时变量。

代码实现

#include <cstdio>
typedef long long int ll;
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y) {
    if(b==0) {x=1;y=0;}
    else {
        exgcd(b,a%b,y,x);
        y-=a/b*x;
    }
}
int main() {
    ll a,b;scanf("%lld%lld",&a,&b);
    ll x,y;exgcd(a,b,x,y);
    printf("%lld\n",(x%b+b)%b);
    return 0;
}
<think>好的,用户之前问过关于Peng-Robinson方程的剩余焓计算程序,现在又询问SRK方程的剩余焓。我需要先确认用户的需,可能他是在比较不同状态方程,或者需要扩展程序支持更多的方程。用户可能是学生或者工程师,需要了如何实现SRK方程的剩余焓计算。 首先,我需要回顾SRK方程的基本形式,以及与PR方程的差异。SRK方程在计算剩余焓时,公式中的参数和推导可能有所不同,需要明确相关参数的计算方法,比如a、b、α(T)等。然后,剩余焓的偏离函数表达式也需要找到正确的公式,确保和SRK方程对应。 接下来,用户可能需要具体的步骤和代码示例,类似于之前PR方程的回答。因此,我需要分步骤说明,包括定义剩余焓、核心公式、计算步骤、代码框架,以及注意事项和验证方法。同时,要注意单位一致性和数值稳定性,这部分和PR方程类似,但参数不同。 还需要检查是否有用户可能忽略的细节,比如压缩因子Z的方法,SRK方程的三次方程形式,以及如何选择气相或液相的根。另外,SRK方程中的α(T)函数可能与PR方程不同,需要正确表达,比如使用Soave的修正公式。 可能用户对如何从PR转换到SRK不太清楚,所以需要明确两者的区别,比如a和b的计算公式,α(T)的不同形式,以及剩余焓公式中的差异。同时,确保代码示例中的变量和公式正确对应SRK方程,避免混淆。 最后,考虑用户可能需要验证结果,建议参考NIST数据或文献中的案例,比如使用甲烷的参数进行测试。同时提醒用户注意单位转换,例如压力单位可能从MPa转为Pa,温度保持开尔文。</think>以下是关于使用 **SRK(Soave-Redlich-Kwong)方程** 计算剩余焓的分步说明及代码框架: --- ### **1. 剩余焓定义** 剩余焓(Residual Enthalpy)是真实气体与同温度下理想气体的焓差: $$ H^{\text{res}} = H_{\text{actual}} - H_{\text{ideal}} $$ --- ### **2. SRK方程核心公式** #### **2.1 SRK状态方程** $$ P = \frac{RT}{v - b} - \frac{a\alpha(T)}{v(v + b)} $$ #### **2.2 剩余焓公式** 基于偏离函数的推导: $$ H^{\text{res}} = RT(Z - 1) + \frac{T\left(\frac{d(a\alpha)}{dT}\right) - a\alpha}{b} \ln\left(\frac{Z + B}{Z}\right) $$ 其中: - $Z = \frac{Pv}{RT}$(压缩因子) - $B = \frac{bP}{RT}$ - $a$、$b$ 为方程参数,$\alpha(T)$ 是温度修正项。 --- ### **3. 程序实现步骤** #### **3.1 输入参数** - **物质参数**:临界温度 $T_c$、临界压力 $P_c$、偏心因子 $\omega$ - **状态参数**:温度 $T$、压力 $P$ #### **3.2 计算SRK参数** ```python import numpy as np R = 8.314 # 气体常数 [J/(mol·K)] def srk_params(T, Tc, Pc, omega): # 计算a、b和α(T) a = 0.42748 * (R**2 * Tc**2) / Pc b = 0.08664 * R * Tc / Pc m = 0.480 + 1.574*omega - 0.176*omega**2 # Soave修正项 alpha = (1 + m*(1 - np.sqrt(T/Tc)))**2 return a * alpha, b ``` #### **3.3 压缩因子 $Z$** SRK方程对应的三次方程: $$ Z^3 - Z^2 + (A - B - B^2)Z - AB = 0 $$ 其中: - $A = \frac{a\alpha(T) P}{R^2 T^2}$ - $B = \frac{bP}{RT}$ 需通过牛顿迭代法或析法 $Z$(气相取最大实根)。 #### **3.4 剩余焓计算** ```python def residual_enthalpy_srk(T, P, Tc, Pc, omega): a_alpha, b = srk_params(T, Tc, Pc, omega) A = a_alpha * P / (R**2 * T**2) B = b * P / (R * T) # Z(示例代码需补充) Z = solve_z(A, B) # 需实现压缩因子 # 计算d()/dT m = 0.480 + 1.574*omega - 0.176*omega**2 sqrt_T_Tc = np.sqrt(T / Tc) dalpha_dT = -m * (1 / (2 * Tc * sqrt_T_Tc)) * (1 + m*(1 - sqrt_T_Tc)) da_alpha_dT = 0.42748 * (R**2 * Tc**2 / Pc) * (2 * (1 + m*(1 - sqrt_T_Tc)) * dalpha_dT) # 剩余焓公式 term1 = R * T * (Z - 1) term2 = (T * da_alpha_dT - a_alpha) / b term3 = np.log((Z + B) / Z) H_res = term1 + term2 * term3 return H_res ``` --- ### **4. 关键注意事项** 1. **压缩因子**:需处理三次方程的多根问题(气相取最大实根)。 2. **导数计算**:$\frac{d(a\alpha)}{dT}$ 是剩余焓计算的核心,需严格按SRK的$\alpha(T)$形式推导。 3. **单位一致性**:确保输入单位为 $T$(K)、$P$(Pa)、$T_c$(K)、$P_c$(Pa)。 --- ### **5. 验证案例** 以 **甲烷(CH₄)** 为例: - $T_c = 190.6\ \text{K}$,$P_c = 4.60\ \text{MPa}$,$\omega = 0.008$ - 在 $T = 250\ \text{K}$、$P = 5\ \text{MPa}$ 时,剩余焓约为 $-1350\ \text{J/mol}$(需与文献或NIST数据对比)。 --- ### **6. 扩展优化** - **混合气体**:需使用混合规则(如van der Waals混合规则)计算 $a$ 和 $b$。 - **数值稳定性**:在临界点附近需调整迭代方法或使用更精确的算法。 通过上述步骤,可编写基于SRK方程的剩余焓计算程序。实际应用中需结合具体需完善代码,并添加输入校验和异常处理。
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