【CH 3301】同余方程_求关于 xx 的同余方程 ax≡1(modb)ax≡1(modb) 的最小正整数解。-优快云博客

本文介绍了一种求解特定形式同余方程的方法，通过转换为二元一次方程并利用扩展欧几里得算法进行求解。该算法能够找到最小正整数解。

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题目描述

求关于 $x$ 的同余方程 $ax\equiv1(\mod b)$ 的最小正整数解.

算法分析

将同余方程转化为二元一次方程的形式，即由 $ax\equiv1(\mod b)$ 转化为 $ax-by=1$ 。

使用扩展欧几里得算法求解：

当 $b=0$ 时要满足 $ax-by=gcd(a,b)$ ，可得 $x=1,y=0$ 。

当 $b≠0$ 时， $bx_0+(a\mod b)y_0=gcd(b,a\mod b)$ ，将 $a\mod b$ 用 $a-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times b$ 表示得到 $bx_0+(a-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times b)y_0=gcd(b,a\mod b)$ ，化简得 $ay_0+b(x_0-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times y_0)=gcd(b,a\mod b)$ ，则 $x=y_0,y=x_0-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times y_0$ ，以此递归即可。

实现时可将 $x,y$ 的调用位置互换，以不必使用格外的临时变量。

代码实现

#include <cstdio>
typedef long long int ll;
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y) {
    if(b==0) {x=1;y=0;}
    else {
        exgcd(b,a%b,y,x);
        y-=a/b*x;
    }
}
int main() {
    ll a,b;scanf("%lld%lld",&a,&b);
    ll x,y;exgcd(a,b,x,y);
    printf("%lld\n",(x%b+b)%b);
    return 0;
}