【BZOJ 1257】余数之和

本文介绍了一种高效计算模运算求和的方法,即计算(k mod 1) + (k mod 2) + ... + (k mod n)的值,其中n和k为正整数且不超过10^9。通过变换取模运算的形式并利用数学性质,实现了时间复杂度为O(√k)的算法。

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题目描述

给出正整数 nnk,计算 (kmod1)+(kmod2)+(kmod3)++(kmodn)(kmod1)+(kmod2)+(kmod3)+…+(kmodn) 的值。1n,k1091≤n,k≤109

算法分析

将取模运算变换形式:kmodi=kki×ikmodi=k−⌊ki⌋×i,则 ni=1kmodi=n×k×ni=1ki×i∑i=1nkmodi=n×k×∑i=1n⌊ki⌋×i

注意到随着 ii 的递增,ki 的值递减,而且有一段部分相同,可以证明不同的 ki⌊ki⌋ 值有 O(k)O(k) 种,考虑将这一部分一次性单独处理。

可以 O(1)O(1) 计算出以 ii 为起点的相同部分的终点 min{n,kki},注意当分母 ki=0⌊ki⌋=0 时会出错,这时应当特判终点为 nn,还有后面乘 i 的部分直接使用等差数列公式求解即可,时间复杂度 O(k)O(k)

实现代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>
typedef long long int ll;
int main() {
    ll n,k;
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    ll ans=n*k;
    for(int i=1;i<=n;++i) {
        ll end=k/i==0?n:std::min(n,k/(k/i));
        ans-=(k/i)*(i+end)*(end-i+1)/2;
        i=end;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}
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