题目描述
给出正整数 nn 和 ,计算 (kmod1)+(kmod2)+(kmod3)+…+(kmodn)(kmod1)+(kmod2)+(kmod3)+…+(kmodn) 的值。1≤n,k≤1091≤n,k≤109。
算法分析
将取模运算变换形式:kmodi=k−⌊ki⌋×ikmodi=k−⌊ki⌋×i,则 ∑ni=1kmodi=n×k×∑ni=1⌊ki⌋×i∑i=1nkmodi=n×k×∑i=1n⌊ki⌋×i。
注意到随着 ii 的递增, 的值递减,而且有一段部分相同,可以证明不同的 ⌊ki⌋⌊ki⌋ 值有 O(k√)O(k) 种,考虑将这一部分一次性单独处理。
可以 O(1)O(1) 计算出以 ii 为起点的相同部分的终点 ,注意当分母 ⌊ki⌋=0⌊ki⌋=0 时会出错,这时应当特判终点为 nn,还有后面乘 的部分直接使用等差数列公式求解即可,时间复杂度 O(k√)O(k)。
实现代码
#include <cstdio>
#include <algorithm>
typedef long long int ll;
int main() {
ll n,k;
scanf("%lld%lld",&n,&k);
ll ans=n*k;
for(int i=1;i<=n;++i) {
ll end=k/i==0?n:std::min(n,k/(k/i));
ans-=(k/i)*(i+end)*(end-i+1)/2;
i=end;
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}