【BZOJ 1257】余数之和

本文介绍了一种高效计算模运算求和的方法,即计算(k mod 1) + (k mod 2) + ... + (k mod n)的值,其中n和k为正整数且不超过10^9。通过变换取模运算的形式并利用数学性质,实现了时间复杂度为O(√k)的算法。

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题目描述

给出正整数 nnk,计算 (kmod1)+(kmod2)+(kmod3)++(kmodn)(kmod1)+(kmod2)+(kmod3)+…+(kmodn) 的值。1n,k1091≤n,k≤109

算法分析

将取模运算变换形式:kmodi=kki×ikmodi=k−⌊ki⌋×i,则 ni=1kmodi=n×k×ni=1ki×i∑i=1nkmodi=n×k×∑i=1n⌊ki⌋×i

注意到随着 ii 的递增,ki 的值递减,而且有一段部分相同,可以证明不同的 ki⌊ki⌋ 值有 O(k)O(k) 种,考虑将这一部分一次性单独处理。

可以 O(1)O(1) 计算出以 ii 为起点的相同部分的终点 min{n,kki},注意当分母 ki=0⌊ki⌋=0 时会出错,这时应当特判终点为 nn,还有后面乘 i 的部分直接使用等差数列公式求解即可,时间复杂度 O(k)O(k)

实现代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>
typedef long long int ll;
int main() {
    ll n,k;
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    ll ans=n*k;
    for(int i=1;i<=n;++i) {
        ll end=k/i==0?n:std::min(n,k/(k/i));
        ans-=(k/i)*(i+end)*(end-i+1)/2;
        i=end;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}
根据引用所述,交错序列是一个仅由0和1构成的序列,其中没有相邻的1(可以有相邻的0)。特征值定义为x^ay^b,其中x和y分别表示0和1出现的次数。长度为n的交错序列可能有多个。问题要求计算所有长度为n的交错序列特征值的和除以m的余数。 根据引用所述,输入文件包含一个行,该行包含三个整数n、a、b和m。其中,1≤n≤10000000,0≤a、b≤45,m<100000000。 为了解决这个问题,可以使用动态规划和矩阵快速幂优化的方法,具体实现可以参考引用提到的相关算法。算法的思路是通过计算长度为n的交错序列的特征值,然后将所有特征值求和并对m取余数。 具体步骤如下: 1. 使用动态规划计算长度为n的所有交错序列的特征值,将结果保存在一个矩阵中。 2. 使用矩阵快速幂优化,将动态规划的过程进行优化。 3. 对优化后的结果进行求和,并对m取余数。 4. 输出结果。 参考引用给出的博客中的代码实现,可以帮助你更好地理解和实现该算法。<span class="em">1</span><span class="em">2</span><span class="em">3</span> #### 引用[.reference_title] - *1* *2* *3* [BZOJ5298 CQOI2018 交错序列 【DP+矩阵快速幂优化】*](https://blog.youkuaiyun.com/weixin_30892987/article/details/99470493)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v92^chatsearchT0_1"}}] [.reference_item style="max-width: 100%"] [ .reference_list ]
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