bzoj1531 [POI2005]Bank notes（单调队列优化多重背包）

最新推荐文章于 2025-05-20 12:54:03 发布
原创 最新推荐文章于 2025-05-20 12:54:03 发布 · 866 阅读 · 1 ·
CC 4.0 BY-SA版权
版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。

本文介绍了如何使用单调队列优化技术将多重背包问题的复杂度从O(m∑c)降低到O(nm)，并详细阐述了优化过程和决策点不连续时的处理方法。

摘要生成于 C知道 ，由 DeepSeek-R1 满血版支持， 前往体验 >

单调队列优化多重背包的板子。
我们朴素的多重背包做法是O(m∑c)O(m∑c)的
可以用二进制优化成O(m∑logc)O(m∑logc)
更进一步的，我们可以用单调队列优化成O(nm)

最低0.47元/天 解锁文章

200万优质内容无限畅学
【BZOJ 1531】 [POI2005]Bank notes
Regina8023
05-05 1403
队列优化的多重背包问题~
bzoj 1531: [POI2005]Bank notes 单调队列优化多重背包
beginend
10-31 975
题目DescriptionByteotian Bit Bank (BBB) 拥有一套先进的货币系统,这个系统一共有n种面值的硬币,面值分别为b1, b2,…, bn. 但是每种硬币有数量限制,现在我们想要凑出面值k求最少要用多少个硬币.Input第一行一个数 n, 1 <= n <= 200. 接下来一行 n 个整数b1, b2,…, bn, 1 <= b1 < b2 < … < b n <= 20
单调队列优化多重背包
最新发布
twilight_____5的博客
05-20 82
只是用来存代码，写的不好（
BZOJ 1531: [POI2005]Bank notes( 背包 )
weixin_30685029的博客
07-22 156
多重背包...----------------------------------------------------------------------------#include<bits/stdc++.h> #define rep(i, n) for(int i = 0; i < n; i++)#define clr(x, c) memset(x, c, sizeof...
【BZOJ1531】[POI2005]Bank notes【多重背包】
BraketBN
04-26 746
【题目链接】 照着论文打了一发，发现还挺好玩。 /* Pigonometry */ #include #include #include using namespace std; const int maxn = 20005; int n, m, dp[maxn], w[maxn], c[maxn]; inline int iread() { int f = 1, x = 0;
单调队列优化dp(五)——#10179. 「一本通 5.5 例 5」Banknotes
hhhcbw的博客，欢迎各位来访
09-24 704
题目链接：https://loj.ac/problem/10179 解题思路 来自于著名的lls的男人八题，其实是多重背包的裸体，直接二进制优化就能过，
bzoj1531
weixin_30865427的博客
08-26 110
背包+倍增 直接背包跑不过去，那么我们把容量分成二进制，然后原来需要枚举c次就只用枚举log(c)次了，这样还是能组合出任意小于等于c的组合方案 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N = 20010; int n, s; int b[N], c[N], dp[N]; int ma...
【POI 2005】Bank Notes
TungstenC
10-18 406
多重背包裸题，待填坑。
『动态规划·单调队列优化·贪心』BZOJ1233：干草堆
Ronaldo7_ZYB的博客
08-27 257
Problem\mathrm{Problem}Problem Solution\mathrm {Solution}Solution 对于这道题，我们首先需要知道一个贪心的结论： 如果要使最后的干草堆尽量高，最小面的那一堆一定要尽量小 。 但是知道了这个结论，我们仍然无法知道具体的叠的方案是怎么样的，我们考虑动态规划。 我们可以将数组翻转，求前缀和，自底向上DP。设f[i]f[i]f[i]表示...
【BZOJ】【P1531】【POI2005】【Bank notes】【题解】【二进制优化背包】【300T留念】
退役狗的专栏
10-04 1884
传送门:http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1531 300T刷
bzoj 1531: [POI2005]Bank notes
fyc的博客
03-20 460
题意： Byteotian Bit Bank (BBB) 拥有一套先进的货币系统,这个系统一共有n种面值的硬币,面值分别为b1, b2,…, bn. 但是每种硬币有数量限制,现在我们想要凑出面值k求最少要用多少个硬币。 题解： 多重背包+单调队列裸题。 空间开小一百倍调一晚上 code： #include&lt;cstdio&gt; #include&lt;cstdlib&gt; ...
[POI2005]Bank notes
weixin_30840253的博客
12-18 199
link 试题分析 我们发现此题是一个十分简单的多重背包。但是按照朴素写法会超时。所以要去考虑优化。 我们发现我们若$W=7$，可以拆成$1+2+4$，不用每次$1+1+1+1+1+1+1$，从$N$级就变成$log$级了。所以对于每一组$(w_i,c_i)$,我们都可以拆成多个二进制数，然后暴力去写即可。 时间复杂度:$O(k\times \sum_{i=1}^n log_2 C_i)....
[BZOJ1531] [POI2005]Bank notes
slongle的专栏
09-26 584
传送门http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1531题目大意有n种面值的硬币,每个各有x[i]个,询问最少用多少枚可达到面值m题解多重背包,直接转化01超时,二进制优化,具体看模板里写的吧var dp:array[0..20000]of longint; y:array[0..200,1..2]of longint; x:array[0
BZOJ1531/POI2005 Bank notes
LIN452
10-27 732
裸的多重背包,利用二进制进行优化: 假设有12枚面额为3的硬币,可以把它转化为 面值为3,6,12,15的硬币分别1枚.这样就把物品总数减少到log件.#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int M=205; const int S=15; const
【bzoj1531】[POI2005]Bank notes 多重背包dp
01232012的博客
09-26 286
算法：单调队列/二进制 优化多重背包 难度：NOIP 首先，他是一个裸的多重背包，所以我们来贴一个暴力代码吧，时间复杂度O（n*v*val） 代码如下： #include &lt;cstdio&gt; #include &lt;iostream&gt; #include &lt;cstring&gt; #include &lt;cstdlib&gt; #include &lt;cmath...
bzoj1531: [POI2005]Bank notes（多重背包）
weixin_30716725的博客
09-05 145
1531: [POI2005]Bank notes Time Limit: 5 SecMemory Limit: 64 MBSubmit: 521Solved: 285[Submit][Status][Discuss] Description Byteotian Bit Bank (BBB) 拥有一套先进的货币系统,这个系统一共有n种面值的硬币,面值分别为b1, b2,......
bzoj1531[POI2005]Bank notes 多重背包
老臣
07-10 352
多重背包的裸题.复习一波。。 二进制拆分#include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> #define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++) #define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--) using namespace std; const int N=2e4+5; int n
BZOJ 1531 POI2005 Bank notes
weixin_30338497的博客
09-08 105
多重背包问题，二进制拆分后做~ #include <cstdio> #include <algorithm> #include <cstring> #define up(a,b,c) for(register int c=a;c<=b;++c) #define down(a,b,c) for(register int c=a;c>...
bzoj[1597][usaco2008 mar]土地购买 斜率优化
06-28
### 回答1： bzoj[1597][usaco2008 mar]土地购买 斜率优化 这道题是一道经典的斜率优化题目，需要用到单调队列的思想。 首先，我们可以将题目中的式子进行变形，得到： f[i] = f[j] + (sum[i] - sum[j] - m) ^ 2 + k 其中，sum[i] 表示前缀和，m 和 k 都是常数。 我们可以将式子中的 sum[i] 和 k 看作常数，那么我们需要优化的就是 (sum[i] - sum[j] - m) ^ 2 这一项。 我们可以将其展开，得到： (sum[i] - sum[j] - m) ^ 2 = sum[i] ^ 2 - 2 * sum[i] * (sum[j] + m) + (sum[j] + m) ^ 2 我们可以将其看作一个二次函数，其中 a = 1，b = -2 * (sum[j] + m)，c = (sum[j] + m) ^ 2。 我们可以发现，当 j < k 时，如果 f[j] + a * sum[j] + b * sum[j] <= f[k] + a * sum[k] + b * sum[k]，那么 j 就不可能是最优决策点，因为 k 比 j 更优。 因此，我们可以用单调队列来维护决策点。具体来说，我们可以维护一个单调递增的队列 q，其中 q[i] 表示第 i 个决策点的下标。每次加入一个新的决策点 i 时，我们可以将队列尾部的决策点 j 弹出，直到队列为空或者 f[j] + a * sum[j] + b * sum[j] <= f[i] + a * sum[i] + b * sum[i]。然后，我们将 i 加入队列尾部。 最后，队列头部的决策点就是最优决策点。我们可以用类似于双指针的方法来维护队列头部的决策点是否在当前区间内，如果不在，就弹出队列头部。 时间复杂度为 O(n)。 ### 回答2： 这道题目属于斜率优化的经典题目，难度较高，需要掌握一定的数学知识。 首先，我们可以将题目中的“最大利润”转化为“最小成本”，这样问题就变成了找到一个方案，使得购买土地的成本最小。 接着，我们考虑如何用斜率优化来解决这个问题。我们可以定义一个函数f(i)，表示前i块土地的最小成本。 显然，f(1)=0，因为不需要购买任何土地。 对于f(i)，它可以由f(j)+b(i)×a(j+1)得到，其中j<i，a(j+1)表示第j+1块土地的面积，b(i)表示第i块土地的价格。这个式子的含义是，我们现在要购买第i块土地，那么前面的土地（即前j块）就都要买，所以f(j)表示前j块土地的最小成本，b(i)×a(j+1)表示购买第i块土地的成本。 那么，我们可以得到递推公式： f(i)=min{f(j)+b(i)×a(j+1)}，其中j<i。 这个公式看起来很简单，但是要注意的是，当b(i)×a(j+1)的斜率相同时，我们需要取其中面积较小的土地，因为它的价格更低。因此，我们需要对斜率进行排序，并在递推中用单调队列维护斜率相等的情况下面积最小的土地。 最终，f(n)就是题目所求的最小成本。 总之，这道题目需要深入理解斜率优化算法的原理和实现方式，并且需要注意细节处理，如果能够顺利地解决这个问题，那么对于斜率优化算法的掌握程度就有了很大的提升。 ### 回答3： 土地购买问题可以采用斜率优化算法来解决。这个问题可以转化为一个单调队列的问题。 首先，我们需要对土地价格按照边长从小到大排序。然后，对于每块土地，我们需要求出它的贡献。设 $f_i$ 表示前 $i$ 块土地连续的最小代价。 设当前处理到第 $i$ 块土地，已经求出了前 $j$ 块土地的最小代价 $f_j$。那么我们可以得到下面这个式子： $$ f_i=\min\limits_{j=1}^{i-1}\{f_j+(S_i-S_j)^2+P\} $$ 式子中，$S_i$ 表示前 $i$ 块土地的边长和，$P$ 表示额外购买土地的代价。首先，不考虑额外购买土地，我们可以使用动态规划来求出 $f_i$。但是，考虑到额外购买土地的代价 $P$ 是一个固定值，我们可以考虑将它与某一块土地的代价合并起来，这样就可以使用斜率优化技术来优化动态规划算法。 我们定义一个决策点 $j$，表示我们当前要处理第 $i$ 块土地时，已经处理过 $j$ 块土地，并将第 $j+1$ 块土地到第 $i$ 块土地购买，所需的最小代价。我们假设 $S_i>S_j$，则可以得到下面这个式子： $$ f_i=\min\limits_{j=1}^{i-1}\{f_j+(S_i-S_j)^2+P\} $$ 将它整理成斜率截距式可以得到： $$ y=kx+b $$ 其中 $k=(S_j)^2-2S_iS_j$，$b=f_j+(S_i)^2+P-S_j^2$，$x=S_j$，$y=f_j+(S_j-S_i)^2-S_j^2$。我们发现 $k$ 是一个单调递减的函数，因此我们可以使用一个单调队列来维护所有可能成为决策点的点。对于每个点，我们计算函数 $y$ 的值并将它们加入队列，然后取队头元素的值作为 $f_i$。 综上所述，我们可以使用斜率优化技术来解决土地购买问题，时间复杂度为 $O(n)$。
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

个

红包个数最小为10个

元

红包金额最低5元

当前余额3.43元 前往充值 >
需支付：10.00元
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付元
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明：

1.余额是钱包充值的虚拟货币，按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载，可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值