【BZOJ 1053】反素数

题目描述

对于任何正整数 $x$，其约数的个数记作 $g(x)$。例如 $g(1)=1$，$g(6)=4$。

如果某个正整数 $x$ 满足：对于任意的 $0<i<x$，都有 $g(x)>g(i)$，则称 $x$ 为反质数。例如，整数 $1,2,4,6$ 等都是反质数。

现在给定一个数 $N(1≤N≤2\times10^9)$，请求出不超过 $N$ 的最大的反质数。

算法分析

一些结论：

• 当 $1≤N≤2\times10^9$ 时，$N$ 最多有 $10$ 个不同的质因子，且所有质因子的指数不超过 $30$。（证明：找极大情况）
  • 不超过 的最大的反质数就是最靠前的约数个数最多的数。（显然，可分类讨论）
  • 该数是反质数当且仅当其质因子是连续若干个最小的质数，并且质数单调递减。（反证法：交换质因子指数）

  暴力搜索即可。

  代码实现

  #include <cstdio>
  #include <algorithm>
  const int arr[]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31};
  int n;long long int ans=0,ansnum=0,now=1,cnt=1;
  inline int pow(int n,int k) {
      int ans=1;
      while(k) {
          if(k&1) ans*=n;
          n*=n;k>>=1;
      }
      return ans;
  }
  void search(int idx,int up) {
      if(idx>10) {
          if(cnt>ans) {
              ans=cnt;
              ansnum=now;
          }
          else if(cnt==ans) ansnum=std::min(ansnum,now);
          return;
      }
      search(idx+1,0);
      for(int i=1;i<=up;++i) {
          int power=pow(arr[idx],i);
          if((long long int)now*power>n) break;
          now*=power;cnt*=i+1;
          search(idx+1,i);
          now/=power;cnt/=i+1;
      }
  }
  int main() {
      scanf("%d",&n);
      search(0,30);
      printf("%lld\n",ansnum);
      return 0;
  }