BZOJ 1257余数之和

最新推荐文章于 2020-07-09 17:11:18 发布

神探小小迪

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分类专栏：算法学习笔记数学数论算法竞赛进阶指南数据结构

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本文介绍了一种计算j(n,k)=kmod1+kmod2+...+kmodn的有效方法，通过数学推导简化了计算过程，并提供了一个C++实现示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

给出正整数n和k，计算j(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值

其中k mod i表示k除以i的余数。

例如j(5, 3)=3 mod 1 + 3 mod 2 + 3 mod 3 + 3 mod 4 + 3 mod 5=0+1+0+3+3=7

Input

输入仅一行，包含两个整数n, k。

1<=n ,k<=10^9

Output

输出仅一行，即j(n, k)。

Sample Input

5 3

Sample Output

题解：j(n,k) = ∑k mod i = ∑k - [k/i] * i = n*k-∑[k/i] * i ，1<=i<=n 。当i>k时，[k/i] * i=0。
∴ 只用考虑 i <= k的情况，即：j(n,k) = n * k - ∑[k/i] * i，1<=i<=min(n,k)。显然 [k/i] * i 是一个以 [k/i] 为公差的等差数列。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
int main()
{
    int n, k;
    scanf("%d %d", &n, &k);
    ll ans = (ll)n * k;
    int d, next = 0;
    for(int i = 1; i <= n && i <= k; i = next+1){
        d = k / i;
        next = k / d;
        next = min(next, n);
        ans -= (ll)d * (next - i + 1) * (next + i) / 2;
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}