【BZOJ2286】【SDOI2011】消耗战 LCA单调性（构建虚树）+树形DP

最新推荐文章于 2019-07-17 23:27:00 发布

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#BZOJ2286 #SDOI2011 #消耗战 #LCA单调性 #虚树

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该博客介绍了如何解决BZOJ2286和SDOI2011中的‘消耗战’问题。通过利用LCA（最近公共祖先）的单调性，博主提出构建虚树以优化树形DP的算法，避免全树遍历导致的时间复杂度过高。在实现过程中，博主建议先对节点按DFS序排序，然后使用单调栈进行插入，并确保单调栈中维护的是一条链。虽然总时间复杂度为O(∑ki)，但通过预处理如倍增LCA，算法效率得到显著提升。

题解：

首先我们考虑每次都做一遍树形DP（树形DP自己脑补去，随便乱搞就过了）。

显然这是TLE无疑的。

所以可以利用LCA单调性构建虚树。

思想：

我们发现每次树形DP有很多点用不到，但是却需要被扫过，让他们见鬼去吧！

实现：

我们只对每次扫的图插入本次询问需要的节点，以及它们的LCA。

这样询问了m个点，虚树就至多只需要2m个点（so quick）。

而插入顺序上不妨利用LCA单调性来把点按dfs度排个序，然后挨个插入单调栈。

同时我们要保证单调栈维护的是一条链，也就是一旦不是链了，我们自然可以求LCA，然后在新图建边，然后出栈，然后balabala~~

这块不妨看代码。

最后的时间复杂度可以理解为O（∑ki）的，也就是50W，但是实现技巧上需要一些预处理，即倍增LCA的nlogn。

但是速度还是很快的。

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define N 501000
#define LOGN 20
#define inf 0x3f3f3f3f
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL
using namespace std;
struct KSD
{
	int v,len,next;
}e[N];
int head[N],cnt;
void add(int u,int v,int len)
{
	cnt++;
	e[cnt].v=v;
	e[cnt].len=len;
	e[cnt].next=head[u];
	head[u]=cnt;
}
int fa[N][LOGN],l[N][LOGN];
int deep[N],pos[N];
void dfs(int x,int p)
{
	int i,v;
	deep[x]=deep[p]+1;
	pos[x]=++cnt;
	for(i=head[x];i;i=e[i].next)
	{
		v=e[i].v;
		if(v==p)continue;
		fa[v][0]=x;
		l[v][0]=e[i].len;
		dfs(v,x);
	}
}
void array(int n,int logn=19)
{
	int i,j;
	for(j=1;j<=logn;j++)
		for(i=1;i<=n;i++)
		{
			fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1];
			l[i][j]=min(l[i][j-1],l[fa[i][j-1]][j-1]);
		}
}
inline int getlca(int x,int y,int logn=19)
{
	int i;
	if(deep[x]<deep[y])swap(x,y);
	for(i=logn;i>=0;i--)
		if(deep[fa[x][i]]>=deep[y])
			x=fa[x][i];
	if(x==y)return x;
	for(i=logn;i>=0;i--)
		if(fa[x][i]!=fa[y][i])
			x=fa[x][i],y=fa[y][i];
	return fa[x][0];
}
inline long long getmin(int x,int y,int logn=19)
{
	int i,ans=inf;
	if(deep[x]<deep[y])swap(x,y);
	for(i=logn;i>=0;i--)
		if(deep[fa[x][i]]>=deep[y])
		{
			ans=min(ans,l[x][i]);
			x=fa[x][i];
		}
	if(x==y)return ans;
	for(i=logn;i>=0;i--)
		if(fa[x][i]!=fa[y][i])
		{
			ans=min(ans,min(l[x][i],l[y][i]));
			x=fa[x][i],y=fa[y][i];
		}
	if(x!=y)ans=min(ans,min(l[x][0],l[y][0]));
	return ans;
}
struct Graph
{
	struct AKL
	{
		int v,next;
	}e[N];
	int head[N],cnt;
	int vis[N],yyc[N],T;
	void add(int u,int v)
	{
		e[++cnt].v=v;
		if(vis[u]!=T)vis[u]=T,e[cnt].next=0;
		else e[cnt].next=head[u];
		head[u]=cnt;
	}
	void set(int x){yyc[x]=T;}
	long long f[N];
	void dfs(int x)
	{
		int i,v;
		f[x]=0;
		if(vis[x]==T)for(i=head[x];i;i=e[i].next)
		{
			dfs(v=e[i].v);
			f[x]+=min(getmin(v,x),yyc[v]==T?inf:f[v]);
		}
	}
}G;
int n,q;
struct Lux
{
	int x,pos;
	Lux(int _x=0,int _pos=0):x(_x),pos(_pos){}
	bool operator < (const Lux &a)const{return pos<a.pos;}
}lux[N];
int stk[N],top;
int main()
{
//	freopen("test.in","r",stdin);
	int i,j,k;
	int a,b,c;
	scanf("%d",&n);
	for(i=1;i<n;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
		add(a,b,c),add(b,a,c);
	}
	cnt=0;
	dfs(1,0);
	array(n);
	for(scanf("%d",&q);q--;)
	{
		G.T++,G.cnt=0;
		for(scanf("%d",&n),i=1;i<=n;i++)
			scanf("%d",&a),lux[i]=Lux(a,pos[a]),G.set(a);
		sort(lux+1,lux+n+1);
		stk[top=1]=1;
		for(i=1;i<=n;i++)
		{
			int lca=getlca(stk[top],lux[i].x);
			while(deep[lca]<deep[stk[top]])
			{
				if(deep[stk[top-1]]<=deep[lca])
				{
					int last=stk[top--];
					if(stk[top]!=lca)stk[++top]=lca;
					G.add(lca,last);
					break;
				}
				G.add(stk[top-1],stk[top]),top--;
			}
			if(stk[top]!=lux[i].x)stk[++top]=lux[i].x;
		}
		while(top)G.add(stk[top-1],stk[top]),top--;
		G.dfs(1);
		printf("%lld\n",G.f[1]);
	}
	return 0;
}