Newcoder 139 E.Removal（dp）

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本文介绍了一种利用动态规划解决特定序列删除问题的方法，通过计算序列删除指定数量元素后的不同子序列个数，重点讲解了状态转移方程和实现代码。问题的核心在于如何有效地枚举和计数子序列，避免重复计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

给出一个序列 $s_1,...,s_n$ ，其中 $1\le s_i\le k$ ，找出该序列删除 $m$ 个元素后得到的不同序列个数

Input

多组用例，每组用例首先输入三个整数 $n,m,k$ ，之后输入 $n$ 个整数 $s_1,...,s_n$

$(1\le n\le 10^5,1\le m\le min(n-1,10),1\le k\le 10,1\le s_i\le k,\sum n\le 10^6)$

Output

输出答案，结果模 $10^9+7$

Sample Input

3 2 2
1 2 1
4 2 2
1 2 1 2

Sample Output

2
4

Solution

以 $dp[i][j]$ 表示前 $i$ 个数字删去 $j$ 个后不同的子序列个数，为避免重复，每次往已有子序列后加的数字均为该位置之后首次出现的该数字，以 $Next[i][s]$ 表示第 $i$ 个位置之后 $s$ 出现的第一个位置，枚举 $s$ 由 $dp[i][j]$ 转移到 $dp[Next[i][s]][j+Next[i][s]-i-1]$ 即可，答案即为 $\sum dp[i][m-(n-i)]$

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define maxn 100005
#define mod 1000000007
int n,m,k,a[maxn],Next[maxn][11],pos[11],dp[maxn][11];
int main()
{
    while(~scanf("%d%d%d",&n,&m,&k))
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
        memset(pos,0,sizeof(pos));
        for(int i=n;i>=0;i--)
        {
            for(int j=1;j<=k;j++)Next[i][j]=pos[j];
            pos[a[i]]=i;
        }
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        dp[0][0]=1;
        for(int i=0;i<=n;i++)
            for(int j=0;j<=m;j++)
                for(int s=1;s<=k;s++)
                {
                    int ii=Next[i][s],jj=j+Next[i][s]-i-1;
                    if(ii&&jj<=m)dp[ii][jj]=(dp[ii][jj]+dp[i][j])%mod;
                }
        int ans=0;
        for(int i=0;i<=n;i++)
            if(m-(n-i)>=0)
                ans=(ans+dp[i][m-(n-i)])%mod;
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}