Newcoder 139 F.Sum of Maximum（组合数学）_f sum of maximum-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/V5ZSQ/article/details/82705727

本文探讨了如何求解一个序列中所有可能子序列的最大值之和，通过将序列升序排列并分析最大值的取值区间，提出了一种有效的算法解决方案。利用伯努利数列预处理和组合数学原理，实现了O(n^2)的时间复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

给出一个序列 $a_1,...,a_n$ ，求 $\sum\limits_{x_1=1}^{a_1}\sum\limits_{x_2=1}^{a_2}..\sum\limits_{x_n=1}^{a_n}max\{x_1,...,x_n\}$

Input

多组用例，每组用例首先输入一整数 $n$ ，之后输入 $n$ 个整数 $a_1,...,a_n(1\le n\le 1000,1\le a_i\le 10^9)$

Output

输出结果，答案模 $10^9+7$

Sample Input

2
1 2
5
2 3 3 3 3

Sample Output

3
453

Solution

首先将 $a$ 序列升序，考虑最大值的若干取值区间： $[1,a_1],[a_1+1,a_2],...,[a_{n-1}+1,a_n]$ ，假设最大值 $k$ 取在第 $i$ 个区间 $[a_{i-1}+1,a_i]$ ，那么前 $i-1$ 个数字无论取何值都不会超过最大值，故方案数为 $\prod\limits_{j=1}^{i-1}a_j$ ，而后 $n-i+1$ 个数字每一个都可以取到 $1$ ~ $k$ ，故该部分对答案的贡献为

\sum k = a i - 1 + 1 a i k (k n - i + 1 - (k - 1) n - i + 1)

$\sum\limits_{k=a_{i-1}+1}^{a_i}k(k^{n-i+1}-(k-1)^{n-i+1})$
令

F(l,r,x)=∑k=lrk(kx−(k−1)x)F(l,r,x)=∑k=lrk(kx−(k−1)x) $F(l,r,x)=\sum\limits_{k=l}^rk(k^x-(k-1)^x)$ ，则裂项相消有

F(l,r,x)=rx+1−l(l−1)x−∑k=lr−1kxF(l,r,x)=rx+1−l(l−1)x−∑k=lr−1kx $F(l,r,x)=r^{x+1}-l(l-1)^x-\sum\limits_{k=l}^{r-1}k^x$

令 $S(n,k)=\sum\limits_{i=1}^ni^k$ ，只要求出 $S(n,k)$ 即可得到 $F(l,r,x)$ ，进而答案为

\sum i = 1 n F (a i - 1 + 1, a i, n - i + 1) \prod j = 1 i - 1 a j

$\sum\limits_{i=1}^nF(a_{i-1}+1,a_i,n-i+1)\prod\limits_{j=1}^{i-1}a_j$

O(n2)O(n2) $O(n^2)$ 预处理伯努利数列

B0=1,Bn=−1n+1∑j=0n−1Cjn+1Bj,n≥1B0=1,Bn=−1n+1∑j=0n−1Cn+1jBj,n≥1 $B_0=1,B_n=-\frac{1}{n+1}\sum\limits_{j=0}^{n-1}C_{n+1}^jB_j,n\ge 1$ ，由

S(n,k)=1k+1∑i=1k+1Cik+1Bk+1−i(n+1)iS(n,k)=1k+1∑i=1k+1Ck+1iBk+1−i(n+1)i $S(n,k)=\frac{1}{k+1}\sum\limits_{i=1}^{k+1}C_{k+1}^iB_{k+1-i}(n+1)^i$ 即可

O(k)O(k) $O(k)$ 求出

S(n,k)S(n,k) $S(n,k)$ ，总时间复杂度

O(n2)O(n2) $O(n^2)$

Code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define maxn 1111
#define mod 1000000007
int inv[maxn],B[maxn],C[maxn][maxn];
int add(int x,int y)
{
    x+=y;
    if(x>=mod)x-=mod;
    return x;
}
int mul(int x,int y)
{
    ll z=1ll*x*y;
    return z-z/mod*mod;
}
int Pow(int a,int b)
{
    int ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)ans=mul(ans,a);
        a=mul(a,a);
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
void init(int n=maxn-1)
{
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)inv[i]=mul(mod-mod/i,inv[mod%i]);
    C[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        C[i][0]=C[i][i]=1;
        for(int j=1;j<i;j++)C[i][j]=add(C[i-1][j-1],C[i-1][j]);
    }
    B[0]=1;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        for(int j=0;j<i;j++)B[i]=add(B[i],mul(C[i+1][j],B[j]));
        B[i]=mul(B[i],mod-inv[i+1]);
    }
}
int Solve(int n,int k)
{
    if(n==0)return 0;
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=k+1;i++)
        ans=add(ans,mul(mul(C[k+1][i],B[k+1-i]),Pow(n+1,i)));
    ans=mul(ans,inv[k+1]);
    return ans;
}
int Deal(int l,int r,int k)
{
    int ans=add(Pow(r,k+1),mod-mul(l,Pow(l-1,k)));
    ans=add(ans,add(mod-Solve(r-1,k),Solve(l-1,k)));
    return ans;
}
int n,a[maxn];
int main()
{
    init();
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
        sort(a+1,a+n+1);
        int ans=0,res=1;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(a[i]!=a[i-1])ans=add(ans,mul(res,Deal(a[i-1]+1,a[i],n-i+1)));
            res=(ll)res*a[i]%mod;
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}