ZOJ 4027 Sequence Swapping（dp）

Description

给出$n$个二元组$<s_i,v_i>$，每次可以选择两个相邻的二元组交换当且仅当$s_k='(',s_{k+1}=')'$，该次交换的价值为$v_k\cdot v_{k+1}$，可以进行任意次数的交换，问价值和最大值

Input

第一行一整数$T$表示用例组数，每组用例首先输入一整数$n$表示二元组个数，之后输入一个字符串$s$表示这$n$个二元组的第一维，之后输入$n$个整数$v_i$表示这$n$的二元组的第二维$(1\le n\le 10^3,-10^3\le v_i\le 10^3)$

Output

输出最大价值和

Sample Input

4
6
)())()
1 3 5 -1 3 2
6
)())()
1 3 5 -100 3 2
3
())
1 -1 -1
3
())
-1 -1 -1

Sample Output

24
21
0
2

Solution

第$i$个左括号如果到第$j$个位置，那么后面的左括号必然都在第$j$个位置后面的位置，进而如果第$i$个左括号移动到第$j$个位置或之后可以分成两种情况：第$i$个左括号移动到第$j$个位置且第$i+1$个左括号移动到第$j+1$个位置或之后，第$i$个左括号移动到第$j+1$个位置或之后，以此转移

统计左括号的数量$nl$和每个左括号在序列中的位置$pos[1],...,pos[nl]$，第$i$个左括号前面的右括号数量$num[i]$以及前$i$个右括号权值和$sum[i]$以便统计第$i$个左括号右移时的贡献

以$dp[i][j]$表示第$i$个左括号移到第$j$个位置或之后，第$i$个括号到第$nl$个括号对答案的贡献最大值

由于后$nl-i$个左括号必然在$j$位置之后，所以$j$的范围为$pos[i]\le j\le n-(nl-i)$，第$i$个左括号到达第$j$个位置所经过的右括号是从第$num[i]+1$个右括号开始，经过$j-pos[i]$个右括号，所以其贡献$val(i,j)=v_{pos[i]}\cdot (sum[num[i]+j-pos[i]]-sum[num[i]])$，进而有转移

$dp[i][j]=max(dp[i][j+1],val(i,j)+dp[i+1][j+1])$

最后$max(dp[1][j])$即为答案 ，时间复杂度$O(n^2)$

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=1005;
int T,n,nl,nr,val[maxn],num[maxn],sum[maxn],pos[maxn];
ll dp[maxn][maxn];
char s[maxn];
int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        scanf("%s",s+1);
        for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&val[i]);
        nl=nr=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            if(s[i]=='(')
            {
                pos[++nl]=i;
                num[nl]=nr;
            }
            else
            {
                nr++;
                sum[nr]=sum[nr-1]+val[i];
            }
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=nl;i>=1;i--)
        {
            for(int j=n-(nl-i);j>=pos[i];j--)
            {
                ll temp=(ll)val[pos[i]]*(sum[num[i]+j-pos[i]]-sum[num[i]]);
                dp[i][j]=dp[i+1][j+1]+temp;
                if(j<n-(nl-i))dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][j+1]);
            }
            for(int j=pos[i]-1;j>=pos[i-1];j--)dp[i][j]=dp[i][j+1];
        }   
        ll ans=0;
        for(int j=1;j<=n;j++)ans=max(ans,dp[1][j]);
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}