ZOJ 4026 Magic 12 Months（组合数学）

最新推荐文章于 2019-04-27 12:22:45 发布

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本文介绍了一种基于特定规则的扑克牌游戏，并探讨了游戏结束时各种牌型被完全抽取的概率计算方法。通过数学推导给出了概率计算公式，并提供了一个实现这些计算的C++代码示例。

Description

去掉一副扑克牌的大小王和四张 $K$ ，把剩下的 $48$ 张牌分成 $12$ 摞，每摞四张，之后按如下步骤操作：

1.令 $p=1$

2.把第 $p$ 摞牌最上面一张翻开扔掉， $p$ 变成这张牌的点数

3.如果第 $p$ 摞牌被拿完则结束，否则继续第 $2$ 步

现在给出前 $n$ 张被翻开扔掉的牌，问游戏结束时，每种牌全部被拿完的概率

Input

第一行一整数 $T$ 表示用例组数，每组用例首先输入一整数 $n$ 表示已经被翻开扔掉的牌数，之后输入这 $n$ 张牌，保证合法 $(0\le n\le 48)$

Output

输出 $12$ 个最简分数表示游戏结束时每种牌全部被拿完的概率，概率为 $0$ 或 $1$ 时直接输出 $0$ 或 $1$

Sample Input

3
30 9 Q 10 J Q 10 J 10 J J 8 5 7 6 5 7 6 7 6 6 3 A 2 4 A 2 4 2 4 4
0
7 2 A 3 A 4 A A

Sample Output

1 2/3 2/5 1 1/2 1 2/3 2/5 2/5 2/3 1 1/2
1 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Solution

首先证明：游戏结束时 $p=1$

假设游戏结束时 $p\neq 1$ ，那么说明最后一张被翻开的牌是 $p$ ，此时第 $p$ 摞的四张牌全部被拿完了，但是注意到如果想拿完第 $p$ 摞的四张牌，就要有四张 $p$ 被翻开，且最后一张 $p$ 被翻开时第 $p$ 摞还有一张必然不是 $p$ 的牌，翻完第 $p$ 摞的最后一张牌后不可能再有一张 $p$ 使得游戏以第 $p$ 摞被拿完而结束

由于游戏必然以第 $1$ 摞被拿完而结束，那么四张 $A$ 必然都被拿完，故 $ans[1]=1$

假设每种牌剩余数量分别为 $n_1,...,n_{12}$ ，对于 $2\le i\le 12$ ，如果 $n_i=0$ 说明四张 $i$ 都被拿走了，即 $ans[i]=1$ ，否则说明还有 $i$ 没有被拿走，此时若 $n_1=0$ 说明游戏已经结束，那么没有机会再拿走剩下的 $i$ 了，即 $ans[i]=0$ ，否则说明还有机会拿走全部的 $i$ ，此时问题转化为， $m=48-n$ 张牌随意排列，要求在拿走第 $n_1$ 张 $A$ 之前拿走 $n_i$ 张 $i$ ，枚举最后一张 $A$ 的位置 $j$ ，总方案数 $C_m^{n_1}C_{m-n_1}^{n_i}$ ，满足条件的方案数为 $C_{j-1}^{n_1-1}C_{j-n_1}^{n_i},n_1+n_i\le j\le m$ ，故 $ans[i]=\frac{\sum\limits_{j=n_1+n_i}^mC_{j-1}^{n_1-1}C_{j-n_1}^{n_i}}{C_m^{n_1}C_{m-n_1}^{n_i}}$

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=15;
int T,n,num[maxn];
ll C(int n,int m)
{
    if(m<0||m>n)return 0;
    ll ans=1;
    for(int i=1;i<=m;i++)ans=ans*(n-m+i)/i;
    return ans;
}
int V(char *s)
{
    if(s[1])return 10;
    if(s[0]=='A')return 1;
    if(s[0]=='J')return 11;
    if(s[0]=='Q')return 12;
    return s[0]-'0';
}
ll gcd(ll a,ll b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=12;i++)num[i]=4;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            char s[3];
            scanf("%s",s);
            num[V(s)]--;
        } 
        n=48-n;
        printf("1");
        for(int i=2;i<=12;i++)
            if(!num[i])printf(" 1");
            else if(!num[1])printf(" 0");
            else
            {
                ll q=C(n,num[1])*C(n-num[1],num[i]);
                ll p=0;
                for(int j=num[1]+num[i];j<=n;j++)p+=C(j-1,num[1]-1)*C(j-num[1],num[i]);
                ll g=gcd(p,q);
                p/=g,q/=g;
                if(p==0)printf(" 0");
                else if(p==q)printf(" 1");
                printf(" %lld/%lld",p,q);
            }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}